Considere a equação diferencial
,
Resolva a equação diferencial e esboce os gráficos das soluções.
Resolva a equação diferencial e esboce os gráficos das soluções.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial ordinária, mais especificamente uma equação separável. Isso significa que conseguimos separar as variáveis
e
para integrar de forma mais simples. Vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e integração para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos separar as variáveis
e
. Começamos multiplicando ambos os lados da equação por
e por
para isolar os termos:
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A integração nos ajudará a encontrar uma relação entre
e
:
Passo 4
Realizando as integrações:
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Para simplificar, podemos multiplicar toda a equação por 2:
onde
é apenas outra constante de integração.
Passo 6
Finalmente, isolamos
para encontrar a solução geral da equação diferencial:
Isso representa uma família de soluções dependendo do valor de
.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
, onde
é uma constante real.
Exercícios relacionados
Determine
para os valores de
abaixo.
(a) .
(a)
Resolva as seguintes equações diferenciais separáveis.
Resolva as seguintes equações diferenciais separáveis.
Resolva as seguintes equações diferenciais separáveis.