Represente geometricamente e determine a área limitada pela curvas
,
e pelas retas
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para representar geometricamente e encontrar a área limitada pelas curvas
,
e pelas retas verticais
e
. A gente vai precisar entender um pouco de cálculo, especialmente de integração, pra calcular essa área. Também vamos ver como identificar quais curvas estão acima ou abaixo no intervalo dado.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar quais são essas curvas. A curva
é uma parábola que abre pra cima, enquanto
é uma reta. As retas
e
são linhas verticais que vão limitar nosso intervalo no eixo x.
Passo 3
Agora, pra encontrar a área entre essas curvas no intervalo de
a
, precisamos saber qual das funções está acima da outra nesse intervalo. Vamos calcular os valores de
para
e
:
Para
:
Para
:
Vemos que, para ambos os valores de
, a parábola
está acima da reta
.
Passo 4
Sabendo disso, a área entre as curvas pode ser encontrada pela integral da diferença das funções de cima menos a de baixo, no intervalo de 2 a 3. A fórmula geral para a área
é:
Aqui,
e
, com
e
.
Passo 5
Vamos então montar a integral:
Simplificando dentro da integral:
Passo 6
Agora, vamos calcular essa integral. A integral de
é
e a integral de 1 é
. Então:
Substituindo os limites de integração:
Simplificando:
Resposta
A área limitada pelas curvas é
unidades quadradas.