Represente geometricamente e determine a área limitada pela curvas y = x^2 + x,
y = x - 1 e pelas retas x = 2 e x = 3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para representar geometricamente e encontrar a área limitada pelas curvas , e pelas retas verticais e . A gente vai precisar entender um pouco de cálculo, especialmente de integração, pra calcular essa área. Também vamos ver como identificar quais curvas estão acima ou abaixo no intervalo dado.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar quais são essas curvas. A curva é uma parábola que abre pra cima, enquanto é uma reta. As retas e são linhas verticais que vão limitar nosso intervalo no eixo x.

Passo 3

Agora, pra encontrar a área entre essas curvas no intervalo de a , precisamos saber qual das funções está acima da outra nesse intervalo. Vamos calcular os valores de para e :
Para :
Para :
Vemos que, para ambos os valores de , a parábola está acima da reta .

Passo 4

Sabendo disso, a área entre as curvas pode ser encontrada pela integral da diferença das funções de cima menos a de baixo, no intervalo de 2 a 3. A fórmula geral para a área é:
Aqui, e , com e .

Passo 5

Vamos então montar a integral:
Simplificando dentro da integral:

Passo 6

Agora, vamos calcular essa integral. A integral de é e a integral de 1 é . Então:
Substituindo os limites de integração:
Simplificando:

Resposta

A área limitada pelas curvas é unidades quadradas.

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