Resolva as seguintes equações do tipo Clairaut
(d) y = x * y' + 5 + ln((y' + pi)^2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação do tipo Clairaut que é:

A matéria que vamos usar aqui é equações diferenciais, especificamente as equações de Clairaut. Precisaremos entender como manipular a equação para encontrar a solução geral e a solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a notação. Vamos chamar de . Assim, a equação fica:

Passo 3

Como estamos lidando com uma equação de Clairaut, sabemos que a solução geral é uma família de retas parametrizadas por . Porém, também pode haver uma solução particular que representa a envelope dessa família.

Passo 4

Para encontrar a solução particular, vamos diferenciar a equação em relação a . Derivando ambos os lados:

Passo 5

Simplificando a equação derivada:

Subtraindo de ambos os lados:

Passo 6

Isso nos dá duas possibilidades:
  1. — que corresponde à solução geral.
  2. — que nos levará à solução particular.
Vamos focar na segunda possibilidade para encontrar a solução particular.

Passo 7

Resolvendo :

Passo 8

Substituindo de volta na equação original:

Simplificando:

Passo 9

Continuando a simplificação:

Resposta

A solução particular da equação de Clairaut é:

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