Resolva as seguintes equações do tipo Clairaut
(d)
.
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação do tipo Clairaut que é:
A matéria que vamos usar aqui é equações diferenciais, especificamente as equações de Clairaut. Precisaremos entender como manipular a equação para encontrar a solução geral e a solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a notação. Vamos chamar
de
. Assim, a equação fica:
Passo 3
Como estamos lidando com uma equação de Clairaut, sabemos que a solução geral é uma família de retas parametrizadas por
. Porém, também pode haver uma solução particular que representa a envelope dessa família.
Passo 4
Para encontrar a solução particular, vamos diferenciar a equação em relação a
. Derivando ambos os lados:
Passo 5
Simplificando a equação derivada:
Subtraindo
Passo 6
Isso nos dá duas possibilidades:
-
— que corresponde à solução geral. -
— que nos levará à solução particular.
Vamos focar na segunda possibilidade para encontrar a solução particular.
Passo 7
Resolvendo
:
Passo 8
Substituindo
de volta na equação original:
Simplificando:
Passo 9
Continuando a simplificação:
Resposta
A solução particular da equação de Clairaut é: