Resolva as seguintes inequações na variável , e represente o conjunto solução nos seguintes formatos: na forma de intervalo, e também caracterizando por meio da propriedade satisfeita pelos seus elementos.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a inequação . Essa questão é de álgebra, mais especificamente envolvendo inequações racionais. A gente vai precisar manipular as frações, encontrar um denominador comum e analisar os pontos onde a expressão muda de sinal para determinar o conjunto solução .

Passo 2

Primeiro, vamos trazer tudo para um lado da inequação para facilitar a comparação. Subtraímos de ambos os lados:

Passo 3

Agora, para subtrair essas frações, precisamos de um denominador comum. O denominador comum será :

Passo 4

Vamos expandir o numerador:
Substituindo na expressão:

Passo 5

Simplificando o numerador:
Então, temos:

Passo 6

Vamos fatorar o denominador para facilitar a análise dos sinais:
Portanto, a inequação fica:
Multiplicando ambos os lados por -1 (lembrando que isso inverte o sinal da inequação):

Passo 7

Vamos identificar os pontos críticos onde o numerador ou o denominador são zero:
  • Numerador:
Calculando o discriminante:
Como , o numerador nunca é zero e sempre positivo, pois o coeficiente de é positivo.
  • Denominador:

Passo 8

Agora, vamos analisar os intervalos determinados pelos pontos críticos e :
Como o numerador sempre é positivo, o sinal da expressão depende apenas do denominador:
  • Para : e
  • Para : e
  • Para : e

Passo 9

Como a inequação é , queremos os intervalos onde a expressão é positiva:

Resposta

O conjunto solução é:
  • Na forma de intervalo:
  • Pela propriedade: Os valores de menores que ou maiores que satisfazem a inequação.

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