Resolva as seguintes inequações na variável
, e represente o conjunto solução
nos seguintes formatos: na forma de intervalo, e também caracterizando
por meio da propriedade satisfeita pelos seus elementos.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a inequação
. Essa questão é de álgebra, mais especificamente envolvendo inequações racionais. A gente vai precisar manipular as frações, encontrar um denominador comum e analisar os pontos onde a expressão muda de sinal para determinar o conjunto solução
.
Passo 2
Primeiro, vamos trazer tudo para um lado da inequação para facilitar a comparação. Subtraímos
de ambos os lados:
Passo 3
Agora, para subtrair essas frações, precisamos de um denominador comum. O denominador comum será
:
Passo 4
Vamos expandir o numerador:
Substituindo na expressão:
Passo 5
Simplificando o numerador:
Então, temos:
Passo 6
Vamos fatorar o denominador para facilitar a análise dos sinais:
Portanto, a inequação fica:
Multiplicando ambos os lados por -1 (lembrando que isso inverte o sinal da inequação):
Passo 7
Vamos identificar os pontos críticos onde o numerador ou o denominador são zero:
- Numerador:
Calculando o discriminante:
Como
, o numerador nunca é zero e sempre positivo, pois o coeficiente de
é positivo.
- Denominador:
Passo 8
Agora, vamos analisar os intervalos determinados pelos pontos críticos
e
:
Como o numerador sempre é positivo, o sinal da expressão depende apenas do denominador:
- Para
: e → - Para
: e → - Para
: e →
Passo 9
Como a inequação é
, queremos os intervalos onde a expressão é positiva:
Resposta
O conjunto solução
é:
- Na forma de intervalo:
- Pela propriedade: Os valores de
menores que ou maiores que satisfazem a inequação.
Exercícios relacionados
Resolva as seguintes inequações na variável
, e represente o conjunto solução
nos seguintes formatos: na forma de intervalo, e também caracterizando
por meio da propriedade satisfeita pelos seus elementos.
Resolva as seguintes inequações na variável
, e represente o conjunto solução
nos seguintes formatos: na forma de intervalo, e também caracterizando
por meio da propriedade satisfeita pelos seus elementos.
Resolva as seguintes equações do segundo grau:
Resolva as seguintes equações do segundo grau: