Resolva as seguintes inequações na variável
, e represente o conjunto solução
nos seguintes formatos: na forma de intervalo, e também caracterizando
por meio da propriedade satisfeita pelos seus elementos.
Passo 1
Neste exercício, precisamos resolver a inequação
. Estamos trabalhando com inequações que envolvem funções racionais. Para resolver essa inequação, vamos precisar entender como manipular frações algébricas e aplicar as regras das desigualdades, especialmente quando lidamos com multiplicação ou divisão por uma variável que pode ser positiva ou negativa.
Passo 2
Primeiro, vamos isolar a fração para facilitar a resolução. Começamos subtraindo 2 de ambos os lados da inequação:
Passo 3
Agora, vamos combinar os termos em um único denominador para simplificar a expressão:
Passo 4
Essa inequação
será positiva quando o numerador e o denominador tiverem o mesmo sinal. Para encontrar onde isso ocorre, identificamos os pontos onde o numerador ou o denominador são iguais a zero:
- Numerador:
- Denominador:
Passo 5
Dividimos a linha dos números reais em intervalos com base nesses pontos críticos:
,
, e
. Vamos testar um valor em cada intervalo para determinar onde a inequação é verdadeira.
-
Para
, por exemplo, : -
Para
, por exemplo, : -
Para
, por exemplo, :
Passo 6
Além disso, devemos considerar que
não pode ser igual a zero, pois isso tornaria a fração indefinida. Também, em
, a expressão se anula, não satisfazendo a inequação estrita (> 0).
Resposta
O conjunto solução
é o intervalo aberto
, ou seja:
Caracterizando,
é o conjunto de todos os números reais
tais que
é maior que zero e menor que quatro.
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Observação: o domínio destas técnicas será útil quando, mais adiante, formos estudar o comportamento das funções, investigando regiões de crescimento ou decrescimento, e também os intervalos onde o gráfico da função é côncavo para cima ou para baixo.
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Resolva as seguintes inequações na variável
, e represente o conjunto solução
nos seguintes formatos: na forma de intervalo, e também caracterizando
por meio da propriedade satisfeita pelos seus elementos.
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