Resolva as seguintes inequações na variável , e represente o conjunto solução nos seguintes formatos: na forma de intervalo, e também caracterizando por meio da propriedade satisfeita pelos seus elementos.

Passo 1

Neste exercício, precisamos resolver a inequação . Estamos trabalhando com inequações que envolvem funções racionais. Para resolver essa inequação, vamos precisar entender como manipular frações algébricas e aplicar as regras das desigualdades, especialmente quando lidamos com multiplicação ou divisão por uma variável que pode ser positiva ou negativa.

Passo 2

Primeiro, vamos isolar a fração para facilitar a resolução. Começamos subtraindo 2 de ambos os lados da inequação:

Passo 3

Agora, vamos combinar os termos em um único denominador para simplificar a expressão:

Passo 4

Essa inequação será positiva quando o numerador e o denominador tiverem o mesmo sinal. Para encontrar onde isso ocorre, identificamos os pontos onde o numerador ou o denominador são iguais a zero:
  • Numerador:
  • Denominador:

Passo 5

Dividimos a linha dos números reais em intervalos com base nesses pontos críticos: , , e . Vamos testar um valor em cada intervalo para determinar onde a inequação é verdadeira.
  • Para , por exemplo, :
    ã
  • Para , por exemplo, :
  • Para , por exemplo, :
    ã

Passo 6

Além disso, devemos considerar que não pode ser igual a zero, pois isso tornaria a fração indefinida. Também, em , a expressão se anula, não satisfazendo a inequação estrita (> 0).

Resposta

O conjunto solução é o intervalo aberto , ou seja:
Caracterizando, é o conjunto de todos os números reais tais que é maior que zero e menor que quatro.

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Resolva as seguintes inequações que envolvem funções quadráticas:
Observação: o domínio destas técnicas será útil quando, mais adiante, formos estudar o comportamento das funções, investigando regiões de crescimento ou decrescimento, e também os intervalos onde o gráfico da função é côncavo para cima ou para baixo.
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