Resolva as seguintes integrais: integral e^2 x2+e^2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral e^2 x2+e^2 x , dx. Essa é uma integral que envolve funções exponenciais, mais especificamente, a função e^2x. Para resolver isso, vamos usar uma técnica que se chama substituição, que basicamente facilita a integral transformando-a em uma forma mais simples de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir por uma variável nova para simplificar as coisas. Observando o denominador 2 + e^2x, uma boa escolha é definir:
u = 2 + e^2x

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a x para substituir o dx na integral. Calculando a derivada:
dudx = 2 e^2x
Isso significa que:
du = 2 e^2x , dx

Passo 4

Queremos expressar e^2x , dx em termos de du. Vamos rearranjar a equação anterior:
e^2x , dx = du2

Passo 5

Agora, substituímos u e du na integral original:
integral e^2 x2+e^2 x , dx = integral du2u = 12 integral duu

Passo 6

A integral integral duu é uma integral básica que resulta no logaritmo natural:
integral duu = ln|u| + C
Portanto:
12 integral duu = 12 ln|u| + C

Passo 7

Finalmente, substituímos u de volta pela expressão original em termos de x:
12 ln|2 + e^2x| + C

Resposta

A integral é igual a 12 ln(2 + e^2x) + C.

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