Resolva as seguintes integrais: integral e^2 x2+e^2 x d x

Passo 1

Opa! Então a gente tem que resolver a integral . Isso tá relacionado ao conteúdo de cálculo integral, especificamente substituição para simplificar a integral. Vamos precisar identificar uma parte da expressão que, ao substituir por uma variável nova, facilite o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o denominador u = 2 + e^2x . Uma boa estratégia é fazer uma substituição para tornar a expressão mais simples. Vamos chamar o denominador de uma nova variável .
Então, definimos:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = 2 e^2x em relação a du = 2 e^2x , dx para substituir e^2x , dx = du2 . Vamos derivar ambos os lados da equação:
Isso nos dá:
Queremos expressar em termos de , então:

Passo 4

Agora, substituímos integral e^2x2 + e^2x , dx = integral du2u e 12 integral 1u , du na integral original:
Isso simplifica para:

Passo 5

Essa integral é básica. A integral de 12 ln |u| + C em relação a é o logaritmo natural de :
onde é a constante de integração.

Passo 6

Por fim, substituímos 12 ln |2 + e^2x| + C de volta para a expressão original:

Resposta

A solução da integral é:
12 ln (2 + e^2x) + C

Exercícios relacionados