Seja definida no intervalo de .
(ii) Encontre a série de senos mistos de Fourier da função em .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função definida no intervalo . O que a questão está pedindo é para encontrar a série de senos mistos de Fourier dessa função no intervalo . Isso envolve decompor a função em uma soma de funções senoidais, que é uma ferramenta super útil para analisar e representar funções periódicas. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries de Fourier, especificamente a parte de senos, e saber aplicar as fórmulas de coeficientes de Fourier.

Passo 2

Primeiro, precisamos ajustar a nossa função para o intervalo . Como a função original está definida em , vamos restringi-la para para facilitar a aplicação da série de Fourier no intervalo menor.

Passo 3

Agora, vamos lembrar que uma série de Fourier de uma função periódica pode ser escrita como uma soma de termos senoidais (senos) e cosenoidais (cossenos). No caso da série de senos, estamos focando apenas nos termos de seno, que são úteis quando a função é ímpar ou quando queremos representar funções com certa simetria.
A série de senos de Fourier para uma função no intervalo é dada por:
Onde os coeficientes são calculados por:

Passo 4

Vamos aplicar isso para nossa função no intervalo , então . Os coeficientes ficam:
Para resolver essa integral, podemos usar a técnica de integração por partes ou utilizar uma fórmula padrão para integrais envolvendo exponenciais e senos. A integral resultará em uma expressão que envolve tanto quanto funções trigonométricas.

Passo 5

Depois de calcular os coeficientes , podemos escrever a série de senos de Fourier para a função no intervalo :
Cada termo da série representa uma “onda” senoidal com frequência múltipla de , e a soma infinita desses termos aproxima a função original no intervalo considerado.

Resposta

A série de senos de Fourier para no intervalo é dada por:

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Seja definida no intervalo de .
(i) Esboce o gráfico da extensão periódica em da função no plano cartesiano.
Resolva os seguintes itens abaixo.
(i) Esboce o gráfico da extensão periódica em da função
no plano cartesiano.
Encont que satisfaz .
Usando que , obtenha tal que .