Seja
definida no intervalo de
.
(ii) Encontre a série de senos mistos de Fourier da função
em
.
(ii) Encontre a série de senos mistos de Fourier da função
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
definida no intervalo
. O que a questão está pedindo é para encontrar a série de senos mistos de Fourier dessa função no intervalo
. Isso envolve decompor a função em uma soma de funções senoidais, que é uma ferramenta super útil para analisar e representar funções periódicas. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries de Fourier, especificamente a parte de senos, e saber aplicar as fórmulas de coeficientes de Fourier.
Passo 2
Primeiro, precisamos ajustar a nossa função
para o intervalo
. Como a função original está definida em
, vamos restringi-la para
para facilitar a aplicação da série de Fourier no intervalo menor.
Passo 3
Agora, vamos lembrar que uma série de Fourier de uma função periódica pode ser escrita como uma soma de termos senoidais (senos) e cosenoidais (cossenos). No caso da série de senos, estamos focando apenas nos termos de seno, que são úteis quando a função é ímpar ou quando queremos representar funções com certa simetria.
A série de senos de Fourier para uma função
no intervalo
é dada por:
Onde os coeficientes
são calculados por:
Passo 4
Vamos aplicar isso para nossa função no intervalo
, então
. Os coeficientes ficam:
Para resolver essa integral, podemos usar a técnica de integração por partes ou utilizar uma fórmula padrão para integrais envolvendo exponenciais e senos. A integral resultará em uma expressão que envolve tanto
quanto funções trigonométricas.
Passo 5
Depois de calcular os coeficientes
, podemos escrever a série de senos de Fourier para a função
no intervalo
:
Cada termo da série representa uma “onda” senoidal com frequência múltipla de
, e a soma infinita desses termos aproxima a função original
no intervalo considerado.
Resposta
A série de senos de Fourier para
no intervalo
é dada por:
Exercícios relacionados
Seja
definida no intervalo de
.
(i) Esboce o gráfico da extensão periódica em da função
no plano cartesiano.
(i) Esboce o gráfico da extensão periódica em
Resolva os seguintes itens abaixo.
(i) Esboce o gráfico da extensão periódica em da função
(i) Esboce o gráfico da extensão periódica em
no plano cartesiano.
Encont
que satisfaz
.
Usando que
, obtenha
tal que
.