Seja definida no intervalo de .
(i) Esboce o gráfico da extensão periódica em da função no plano cartesiano.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente esboçar o gráfico da extensão periódica da função que está definida no intervalo . Isso envolve um pouco de funções periódicas e como a gente pode estender uma função que só conhece em um intervalo específico para todo o eixo real.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma função periódica. Uma função é periódica se ela se repete em intervalos iguais ao longo do eixo . O intervalo que se repete é chamado de período.

Passo 3

No nosso caso, a função está definida apenas de até . Para estender isso para todo , vamos repetir esse intervalo de 2 unidades para a direita e para a esquerda.

Passo 4

Então, a extensão periódica de terá um período . Isso significa que para qualquer ,
ó
onde representa o resto da divisão de por 2, ou seja, onde está dentro de cada intervalo de 2 unidades.

Passo 5

Para esboçar o gráfico, vamos pegar o gráfico de de a e simplesmente repetir esse formato a cada intervalo de 2 unidades ao longo do eixo .

Passo 6

Então, por exemplo:
  • De a , temos o gráfico original de .
  • De a , repetimos esse gráfico.
  • De a , também repetimos, e assim por diante.

Passo 7

Lembrando que como cresce exponencialmente, cada repetição será igual à anterior. Isso cria um gráfico que aumenta sem limites para a direita e para a esquerda, mas sempre com o mesmo padrão básico dentro de cada intervalo de 2 unidades.

Resposta

Então, o gráfico da extensão periódica de no plano cartesiano consiste em blocos repetidos da função em cada intervalo de 2 unidades no eixo . Cada bloco vai de até , onde é um inteiro, repassando o formato crescente de continuamente ao longo de toda a reta real.

Exercícios relacionados

Resolva os seguintes itens abaixo.
(i) Esboce o gráfico da extensão periódica em da função
no plano cartesiano.
Escreva de 5 à 10 linhas sobre o que você aprendeu de Séries de Fourier.
Seja definida no intervalo de .
(ii) Encontre a série de senos mistos de Fourier da função em .
Encont que satisfaz .