Seja
definida no intervalo de
.
(i) Esboce o gráfico da extensão periódica em
da função
no plano cartesiano.
(i) Esboce o gráfico da extensão periódica em
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente esboçar o gráfico da extensão periódica da função
que está definida no intervalo
. Isso envolve um pouco de funções periódicas e como a gente pode estender uma função que só conhece em um intervalo específico para todo o eixo real.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma função periódica. Uma função é periódica se ela se repete em intervalos iguais ao longo do eixo
. O intervalo que se repete é chamado de período.
Passo 3
No nosso caso, a função
está definida apenas de
até
. Para estender isso para todo
, vamos repetir esse intervalo de 2 unidades para a direita e para a esquerda.
Passo 4
Então, a extensão periódica de
terá um período
. Isso significa que para qualquer
,
onde
representa o resto da divisão de
por 2, ou seja, onde
está dentro de cada intervalo de 2 unidades.
Passo 5
Para esboçar o gráfico, vamos pegar o gráfico de
de
a
e simplesmente repetir esse formato a cada intervalo de 2 unidades ao longo do eixo
.
Passo 6
Então, por exemplo:
- De
a , temos o gráfico original de . - De
a , repetimos esse gráfico. - De
a , também repetimos, e assim por diante.
Passo 7
Lembrando que como
cresce exponencialmente, cada repetição será igual à anterior. Isso cria um gráfico que aumenta sem limites para a direita e para a esquerda, mas sempre com o mesmo padrão básico dentro de cada intervalo de 2 unidades.
Resposta
Então, o gráfico da extensão periódica de
no plano cartesiano consiste em blocos repetidos da função
em cada intervalo de 2 unidades no eixo
. Cada bloco vai de
até
, onde
é um inteiro, repassando o formato crescente de
continuamente ao longo de toda a reta real.
Exercícios relacionados
Resolva os seguintes itens abaixo.
(i) Esboce o gráfico da extensão periódica em da função
(i) Esboce o gráfico da extensão periódica em
no plano cartesiano.
Escreva de 5 à 10 linhas sobre o que você aprendeu de Séries de Fourier.
Seja
definida no intervalo de
.
(ii) Encontre a série de senos mistos de Fourier da função em
.
(ii) Encontre a série de senos mistos de Fourier da função
Encont
que satisfaz
.