Resolva os seguintes Problemas de Cauchy:
(3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse Problema de Cauchy juntos! A equação que temos é:
E a condição inicial é .
Vamos precisar usar equações diferenciais de Bernoulli para resolver isso. Essa técnica é útil quando a equação tem a forma:
onde é um número real. Nosso objetivo é transformar a equação dada nessa forma e então resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos rearranjar a equação para isolarmos :
Isso fica:
Agora, comparando com a forma de Bernoulli , vemos que:

Passo 3

Para resolver uma equação de Bernoulli, fazemos uma substituição que transforma a equação em uma equação linear. Definimos:
Agora, vamos derivar em relação a :

Passo 4

Substituímos da equação original na expressão de :
Sabemos que:
Então:
Simplificando:
Lembrando que , podemos escrever:

Passo 5

Agora, temos uma equação linear em :
Vamos resolver usando o fator integrante. O fator integrante é:
Multiplicamos toda a equação por :
Isso simplifica para:

Passo 6

Integramos ambos os lados em relação a :
A integral do lado direito pode ser resolvida usando integração por partes ou reconhecendo uma forma relacionada à função erro. Porém, para simplificar, vamos considerar como constante de integração.

Passo 7

Isolamos :
Mas lembrando que , temos:
Para encontrar uma solução explícita, podemos deixar a integral como está ou expressá-la em termos de funções especiais, dependendo do nível de detalhe necessário.

Passo 8

Aplicamos a condição inicial . Substituindo e na equação:
No entanto, não é definido (tende ao infinito), o que sugere que a única solução válida que satisfaz a condição inicial é a solução trivial:

Resposta

A solução do Problema de Cauchy dado é:

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Resolva as seguintes equações do tipo Clairaut
(d) .
Resolva as seguintes EDO- (d)
Determine o gráfico em das funções
Determine a solução Geral da Equação de Riccati, dada a solução particular correspondente:
[
]