Resolva os seguintes Problemas de Cauchy:
(3)
(3)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse Problema de Cauchy juntos! A equação que temos é:
E a condição inicial é
.
Vamos precisar usar equações diferenciais de Bernoulli para resolver isso. Essa técnica é útil quando a equação tem a forma:
onde
é um número real. Nosso objetivo é transformar a equação dada nessa forma e então resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos rearranjar a equação para isolarmos
:
Isso fica:
Agora, comparando com a forma de Bernoulli
, vemos que:
Passo 3
Para resolver uma equação de Bernoulli, fazemos uma substituição que transforma a equação em uma equação linear. Definimos:
Agora, vamos derivar
em relação a
:
Passo 4
Substituímos
da equação original na expressão de
:
Sabemos que:
Então:
Simplificando:
Lembrando que
, podemos escrever:
Passo 5
Agora, temos uma equação linear em
:
Vamos resolver usando o fator integrante. O fator integrante
é:
Multiplicamos toda a equação por
:
Isso simplifica para:
Passo 6
Integramos ambos os lados em relação a
:
A integral do lado direito pode ser resolvida usando integração por partes ou reconhecendo uma forma relacionada à função erro. Porém, para simplificar, vamos considerar
como constante de integração.
Passo 7
Isolamos
:
Mas lembrando que
, temos:
Para encontrar uma solução explícita, podemos deixar a integral como está ou expressá-la em termos de funções especiais, dependendo do nível de detalhe necessário.
Passo 8
Aplicamos a condição inicial
. Substituindo
e
na equação:
No entanto,
não é definido (tende ao infinito), o que sugere que a única solução válida que satisfaz a condição inicial é a solução trivial:
Resposta
A solução do Problema de Cauchy dado é:
Exercícios relacionados
Resolva as seguintes equações do tipo Clairaut
(d) .
(d)
Resolva as seguintes EDO- (d)
Determine o gráfico em
das funções
Determine a solução Geral da Equação de Riccati, dada a solução particular
correspondente:
[
]