Determine a solução Geral da Equação de Riccati, dada a solução particular
correspondente:
[
]
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma Equação de Riccati, que é uma equação diferencial do tipo:
No nosso caso específico, a equação é:
E já nos deram uma solução particular dessa equação, que é
. O objetivo é encontrar a solução geral dessa equação usando essa solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando temos uma solução particular
de uma Equação de Riccati, podemos encontrar a solução geral fazendo uma substituição. A ideia é escrever a solução geral como:
Aqui,
é uma nova função que precisamos descobrir. Substituindo essa expressão na equação original, conseguiremos uma equação diferencial mais simples para
.
Passo 3
Vamos fazer a substituição. Sabemos que
. Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Agora, substituímos
e
na equação original:
Passo 4
Vamos simplificar essa expressão passo a passo. Primeiro, expanda o termo quadrático:
Substituindo de volta na equação:
Agora, simplificando os termos semelhantes:
Passo 5
Vamos multiplicar ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores:
Rearranjando os termos:
Agora, temos uma equação diferencial linear de primeira ordem para
:
Onde
e
.
Passo 6
Para resolver essa equação linear, vamos usar o fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Multiplicamos toda a equação por
:
Isso simplifica para:
Passo 7
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação:
Onde
é a constante de integração. Resolvendo para
:
Passo 8
Agora que temos
, vamos voltar à substituição original para encontrar
:
Vamos simplificar essa expressão:
Podemos reescrever
como uma nova constante
:
Resposta
A solução geral da Equação de Riccati é:
Onde
é a constante de integração.
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Determine o gráfico em
das funções
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(3)
(3)
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(b) .
(b)