Determine a solução Geral da Equação de Riccati, dada a solução particular correspondente:
[
]

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma Equação de Riccati, que é uma equação diferencial do tipo:
No nosso caso específico, a equação é:
E já nos deram uma solução particular dessa equação, que é . O objetivo é encontrar a solução geral dessa equação usando essa solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando temos uma solução particular de uma Equação de Riccati, podemos encontrar a solução geral fazendo uma substituição. A ideia é escrever a solução geral como:
Aqui, é uma nova função que precisamos descobrir. Substituindo essa expressão na equação original, conseguiremos uma equação diferencial mais simples para .

Passo 3

Vamos fazer a substituição. Sabemos que . Agora, vamos calcular a derivada de em relação a :
Agora, substituímos e na equação original:

Passo 4

Vamos simplificar essa expressão passo a passo. Primeiro, expanda o termo quadrático:
Substituindo de volta na equação:
Agora, simplificando os termos semelhantes:

Passo 5

Vamos multiplicar ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:
Rearranjando os termos:
Agora, temos uma equação diferencial linear de primeira ordem para :
Onde e .

Passo 6

Para resolver essa equação linear, vamos usar o fator integrante. O fator integrante é dado por:
Multiplicamos toda a equação por :
Isso simplifica para:

Passo 7

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação:
Onde é a constante de integração. Resolvendo para :

Passo 8

Agora que temos , vamos voltar à substituição original para encontrar :
Vamos simplificar essa expressão:
Podemos reescrever como uma nova constante :

Resposta

A solução geral da Equação de Riccati é:
Onde é a constante de integração.

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