Resolva os seguintes problemas de valor inicial
y' + 3y = x sen(ax), y(0) = -1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A equação que temos é uma equação diferencial de primeira ordem do tipo linear:
Para resolver isso, vamos precisar usar o método do fator integrante, que ajuda a simplificar a equação e encontrar a solução geral. Também vamos aplicar as condições iniciais no final para achar a solução específica.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da nossa equação diferencial padrão, que é:
No nosso caso, temos:
Agora, para usar o método do fator integrante, precisamos calcular esse fator, que é dado por:

Passo 3

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :
O lado esquerdo da equação agora se torna a derivada do produto :

Passo 4

Integrando ambos os lados em relação a , temos:
Isso simplifica para:
onde é a constante de integração.

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral . Para isso, vamos usar a técnica de integração por partes duas vezes. Vamos deixar essa parte um pouco técnica:
Primeiro, definimos:
  • ⇒ precisamos integrar .
A integral de resulta em:
Aplicando a integração por partes duas vezes, encontramos:

Passo 6

Substituindo a integral resolvida de volta na equação original:
Dividindo ambos os lados por para isolar :

Passo 7

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar o valor de :
Substituindo :
Simplificando:
Então:

Resposta

A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:

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