Resolva os seguintes problemas de valor inicial
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A equação que temos é uma equação diferencial de primeira ordem do tipo linear:
Para resolver isso, vamos precisar usar o método do fator integrante, que ajuda a simplificar a equação e encontrar a solução geral. Também vamos aplicar as condições iniciais no final para achar a solução específica.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos da nossa equação diferencial padrão, que é:
No nosso caso, temos:
Agora, para usar o método do fator integrante, precisamos calcular esse fator, que é dado por:
Passo 3
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
O lado esquerdo da equação agora se torna a derivada do produto
:
Passo 4
Integrando ambos os lados em relação a
, temos:
Isso simplifica para:
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral
. Para isso, vamos usar a técnica de integração por partes duas vezes. Vamos deixar essa parte um pouco técnica:
Primeiro, definimos:
-
⇒ -
⇒ precisamos integrar .
A integral de
resulta em:
Aplicando a integração por partes duas vezes, encontramos:
Passo 6
Substituindo a integral resolvida de volta na equação original:
Dividindo ambos os lados por
para isolar
:
Passo 7
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar o valor de
:
Substituindo
:
Simplificando:
Então:
Resposta
A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:
Exercícios relacionados
Calcule as derivadas
Suponha que
é de ordem exponencial e que
existe. Prove que
Calcule as derivadas das seguintes funções.
Encontrar a equação da reta tangente à curva
.