Encontrar a equação da reta tangente à curva y = (3 x^2 - 4 x)^2 em x = 2.

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto onde .
Conteúdo da matéria: Cálculo Diferencial, especificamente derivadas e reta tangente.
O que vamos precisar:
  1. Calcular o valor de quando para encontrar o ponto de tangência.
  2. Encontrar a derivada de em relação a , que nos dá a inclinação da reta tangente.
  3. Usar a fórmula da reta para obter a equação da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o valor de quando .
Substituindo na função:
Então, o ponto de tangência é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a , ou seja, , para obter a inclinação da reta tangente.
Nossa função é .
Vamos usar a regra da cadeia para derivar:
Se , então .
Aqui, .
Primeiro, calculemos :
Agora, aplicando a regra da cadeia:

Passo 4

Vamos calcular a derivada no ponto :
Substituindo na derivada:
A inclinação da reta tangente é .

Passo 5

Agora que temos o ponto e a inclinação , podemos usar a fórmula da reta:
Substituindo:

Passo 6

Vamos deixar a equação da reta na forma :
Distribuindo o 64:
Somando 16 dos dois lados:

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto é .

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