Suponha que f(t) é de ordem exponencial e que lim t 0^+ f(t)t existe. Prove que
mathscrLf(t)t(s)=integrals^infty mathscrLf(t)(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para provar uma relação envolvendo a Transformada de Laplace de uma função . A matéria principal aqui é a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta usada para resolver equações diferenciais e analisar sistemas. Vamos precisar entender como aplicar a definição da Transformada de Laplace e manipular integrais para chegar à prova solicitada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Transformada de Laplace de uma função mathscrLf(t)(s) = integral0^infty e^-st f(t) , dt . Ela é definida por:
onde é uma variável complexa.

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar mathscrLf(t)t(s) = integral0^infty e^-st f(t)t , dt . Vamos aplicar a definição da Transformada de Laplace para :

Passo 4

Para resolver essa integral, vamos fazer uma troca de ordem de integração. Primeiro, observe que podemos reescrever 1t = integrals^infty e^-xt , dx como:
integrals^infty e^-xt , dx = [ e^-xt-t ]s^infty = e^-stt
Isso é válido porque:

Passo 5

Agora, substituímos essa expressão na Transformada de Laplace que queremos calcular:
mathscrLf(t)t(s) = integral0^infty e^-st f(t) ( integrals^infty e^-xt , dx ) dt

Passo 6

Vamos trocar a ordem das integrais, o que é permitido pelas condições de convergência dadas (função de ordem exponencial):
mathscrLf(t)t(s) = integrals^infty ( integral0^infty e^-(s+x)t f(t) , dt ) dx

Passo 7

Observe que a integral interna agora é a Transformada de Laplace de integral0^infty e^-(s+x)t f(t) , dt = mathscrLf(t)(s + x) avaliada em :

Passo 8

Portanto, temos:
mathscrLf(t)t(s) = integrals^infty mathscrLf(t)(x) , dx

Resposta

Prova concluída! Mostramos que:
mathscrLf(t)t(s) = integrals^infty mathscrLf(t)(x) , dx

Exercícios relacionados

Calcule as derivadas das seguintes funções.
g(x) = x^2 sen(x)
Seja g(x) = [f(x)]^3. Encontre g'(1), sabendo que f(1) = -1 e f'(1) = 2
Calcule as derivadas
f(x) = ln(e^x / (x + 1))
Resolva os seguintes problemas de valor inicial
y' + 3y = x sen(ax), y(0) = -1.