Suponha que
é de ordem exponencial e que
existe. Prove que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para provar uma relação envolvendo a Transformada de Laplace de uma função
. A matéria principal aqui é a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta usada para resolver equações diferenciais e analisar sistemas. Vamos precisar entender como aplicar a definição da Transformada de Laplace e manipular integrais para chegar à prova solicitada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Transformada de Laplace de uma função
. Ela é definida por:
onde
é uma variável complexa.
Passo 3
Nosso objetivo é encontrar
. Vamos aplicar a definição da Transformada de Laplace para
:
Passo 4
Para resolver essa integral, vamos fazer uma troca de ordem de integração. Primeiro, observe que podemos reescrever
como:
Isso é válido porque:
Passo 5
Agora, substituímos essa expressão na Transformada de Laplace que queremos calcular:
Passo 6
Vamos trocar a ordem das integrais, o que é permitido pelas condições de convergência dadas (função de ordem exponencial):
Passo 7
Observe que a integral interna agora é a Transformada de Laplace de
avaliada em
:
Passo 8
Portanto, temos:
Resposta
Prova concluída! Mostramos que:
Exercícios relacionados
Calcule as derivadas das seguintes funções.
Seja
. Encontre
, sabendo que
e
Calcule as derivadas
Resolva os seguintes problemas de valor inicial
.