Resolva os seguintes PVIs:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial que envolve derivadas segundas e primeiras, além de um impulso representado pela função delta de Dirac. O conteúdo que vamos usar aqui é de Equações Diferenciais Lineares com Coeficientes Constantes e Transformada de Laplace. Para resolver, vamos precisar conhecer as propriedades da transformada de Laplace, especialmente como ela lida com derivadas e funções delta.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. A transformada de Laplace transforma uma equação no domínio do tempo para o domínio da frequência, o que facilita a resolução.
A equação dada é:
Aplicando a transformada de Laplace:
Passo 3
Agora, vamos usar as propriedades da transformada de Laplace para as derivadas e para a função delta. Sabemos que:
E para a delta de Dirac:
Como as condi��ões iniciais são
e
, substituindo:
Passo 4
Substituindo essas expressões na equação transformada:
Fatorando
:
Passo 5
Agora, isolamos
:
Vamos simplificar o denominador completando o quadrado:
Passo 6
Então, a expressão para
fica:
Reconhecemos que isso se parece com a transformada de uma função seno ou cosseno deslocada no tempo.
Passo 7
Sabemos que:
Comparando com nossa expressão, temos
e
. Além disso, a presença de
indica um deslocamento no tempo de
.
Passo 8
Aplicando a propriedade do teorema da mudança de variável (teorema de atraso), temos:
Onde
é a função de Heaviside (degrau unitário).
Passo 9
Então, aplicando a inversa, obtemos:
Simplificando:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Resolva os seguintes PVIs:
Calcule o gradiente de
no ponto
.
Considere a função
definida por
.
. Determine a derivada direcional de f no ponto
segundo o vetor
.
Resolva os seguintes PVIs: