Resolva os seguintes PVIs:
y'' + 4y' + 5y = delta(t - 2*pi), y(0) = 0, y'(0) = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial que envolve derivadas segundas e primeiras, além de um impulso representado pela função delta de Dirac. O conteúdo que vamos usar aqui é de Equações Diferenciais Lineares com Coeficientes Constantes e Transformada de Laplace. Para resolver, vamos precisar conhecer as propriedades da transformada de Laplace, especialmente como ela lida com derivadas e funções delta.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. A transformada de Laplace transforma uma equação no domínio do tempo para o domínio da frequência, o que facilita a resolução.
A equação dada é:
Aplicando a transformada de Laplace:

Passo 3

Agora, vamos usar as propriedades da transformada de Laplace para as derivadas e para a função delta. Sabemos que:
E para a delta de Dirac:
Como as condi��ões iniciais são e , substituindo:

Passo 4

Substituindo essas expressões na equação transformada:
Fatorando :

Passo 5

Agora, isolamos :
Vamos simplificar o denominador completando o quadrado:

Passo 6

Então, a expressão para fica:
Reconhecemos que isso se parece com a transformada de uma função seno ou cosseno deslocada no tempo.

Passo 7

Sabemos que:
Comparando com nossa expressão, temos e . Além disso, a presença de indica um deslocamento no tempo de .

Passo 8

Aplicando a propriedade do teorema da mudança de variável (teorema de atraso), temos:
Onde é a função de Heaviside (degrau unitário).

Passo 9

Então, aplicando a inversa, obtemos:
Simplificando:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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Calcule o gradiente de f no ponto (0,0).
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