Considere a função definida por . . Determine a derivada direcional de f no ponto segundo o vetor .
Passo 1
Vamos resumir a questão. Temos uma função de duas variáveis, , e precisamos encontrar a derivada direcional dessa função no ponto na direção do vetor . Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a e e entender como usar o vetor direção para achar a derivada direcional.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada direcional. Ela nos diz a taxa de variação da função na direção de um determinado vetor. Para calcular isso, precisamos primeiro garantir que o vetor direção seja um vetor unitário. Isso significa que seu comprimento (ou norma) deve ser 1.
Passo 3
Vamos verificar se o vetor é um vetor unitário. Calculamos a norma de :
Como a norma é 1, já é um vetor unitário, então não precisamos normalizá-lo.
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e . Essas derivadas nos dirão como muda quando apenas ou apenas varia.
Primeiro, a derivada parcial em relação a :
Vamos usar a regra do produto para derivar:
Agora, a derivada parcial em relação a :
Aplicando a regra do produto novamente:
Passo 5
Agora que temos as derivadas parciais, vamos avaliá-las no ponto :
Primeiro, :
Em seguida, :
Passo 6
A derivada direcional é dada pela combinação linear das derivadas parciais multiplicadas pelas componentes do vetor direção:
Substituindo os valores encontrados:
Resposta
A derivada direcional de no ponto na direção do vetor é igual a 0.