Resolva os seguintes PVIs:
y^prime+2 y & =f(t), y(0)=0, onde f(t) & =ll 1, & 0 <= t<1 0, & t >= 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial (PVI) juntos! O enunciado nos dá uma equação diferencial e uma condição inicial. Estamos trabalhando com a matéria de Equações Diferenciais Lineares de Primeira Ordem. Para resolver, vamos precisar entender como usar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial que temos:
y' + 2y = f(t)
Sabemos que f(t) = 1, & 0 <= t < 1 0, & t >= 1 é uma função por partes:
Isso significa que precisamos resolver a equação em dois intervalos diferentes: de 0 a 1 e de 1 em diante.

Passo 3

Vamos começar resolvendo para y' + 2y = 1 , onde mu(t) = e^integral 2 dt = e^2t . A equação fica:
Para resolver essa equação linear, usamos o fator integrante. O fator integrante é dado por:

Passo 4

Multiplicamos a equação toda pelo fator integrante:
e^2t y' + 2 e^2t y = e^2t cdot 1
Isso simplifica para:
ddt ( e^2t y ) = e^2t

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a integral ddt ( e^2t y ) dt = integral e^2t dt :
e^2t y = 12 e^2t + C
Assim,
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Isolando y(t) = 12 + C e^-2t , temos:
0 = 12 + C e^0 implies C = -12
Agora, aplicamos a condição inicial y(t) = 12 (1 - e^-2t) :
Então, a solução para é:

Passo 7

Agora, vamos resolver para y' + 2y = 0 , onde y(t) = K e^-2t . A equação fica:
Essa é uma equação homogênea. A solução geral é:
Onde é uma constante que vamos determinar.

Passo 8

Precisamos garantir que a solução seja contínua em y(1) = 12 (1 - e^-2 cdot 1) = 12 (1 - e^-2) . Ou seja, o valor de 12 (1 - e^-2) = K e^-2 na primeira solução deve ser igual ao valor de na segunda solução.
Primeiro, calculamos na primeira solução:
Esse valor deve ser igual a :

Passo 9

Resolvendo para K = 12 (1 - e^-2) e^2 = 12 (e^2 - 1) :

Passo 10

Portanto, a solução para y(t) = 12 (e^2 - 1) e^-2t = 12 (1 - e^-2(t - 1)) é:

Resposta

A solução do PVI é:
y(t) = 12 (1 - e^-2t), & 0 <= t < 1 12 (1 - e^-2(t - 1)), & t >= 1

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l y^prime prime+2 y^prime+10 y=0, y(0)=0, y^prime(0)=1 y^prime prime+2 y^prime+10 y=de