Resolva os seguintes PVIs:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial (PVI) juntos! O enunciado nos dá uma equação diferencial e uma condição inicial. Estamos trabalhando com a matéria de Equações Diferenciais Lineares de Primeira Ordem. Para resolver, vamos precisar entender como usar o método do fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial que temos:
Sabemos que
é uma função por partes:
Isso significa que precisamos resolver a equação em dois intervalos diferentes: de 0 a 1 e de 1 em diante.
Passo 3
Vamos começar resolvendo para
, onde
. A equação fica:
Para resolver essa equação linear, usamos o fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Passo 4
Multiplicamos a equação toda pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
Assim,
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Isolando
, temos:
Agora, aplicamos a condição inicial
:
Então, a solução para
é:
Passo 7
Agora, vamos resolver para
, onde
. A equação fica:
Essa é uma equação homogênea. A solução geral é:
Onde
é uma constante que vamos determinar.
Passo 8
Precisamos garantir que a solução seja contínua em
. Ou seja, o valor de
na primeira solução deve ser igual ao valor de
na segunda solução.
Primeiro, calculamos
na primeira solução:
Esse valor deve ser igual a
:
Passo 9
Resolvendo para
:
Passo 10
Portanto, a solução para
é:
Resposta
A solução do PVI é:
Exercícios relacionados
Considere a função
definida por
.
. Determine a derivada direcional de f no ponto
segundo o vetor
.
Resolva os seguintes PVIs:
Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela das funções.
seny
Alguém diz a você que as soluções dos dois PVIs a seguir são exatamente as mesmas. Você concorda? Justifique.