Resolva os seguintes sistemas lineares utilizando o Método da Matriz Inversa: l8 x+12 y-4 z=-36 6 x+5 y+7 z=11 2 x+y+6 z=16

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o Método da Matriz Inversa. Primeiro, o que isso significa? Estamos lidando com um sistema linear, que envolve várias equações com múltiplas incógnitas. Para resolver isso, vamos precisar montar a matriz das equações, calcular a sua inversa e, com isso, encontrar os valores de , e .

Passo 2

Vamos começar organizando o sistema na forma de matriz. O sistema dado é:
8x + 12y - 4z = -36 6x + 5y + 7z = 11 2x + y + 6z = 16
Podemos escrever isso como A = 8 & 12 & -4 6 & 5 & 7 2 & 1 & 6 , x = x y z , b = -36 11 16 , onde:

Passo 3

Para encontrar det(A) = 8 cdot (5 cdot 6 - 7 cdot 1) - 12 cdot (6 cdot 6 - 7 cdot 2) - 4 cdot (6 cdot 1 - 5 cdot 2) , precisamos calcular a matriz inversa de det(A) = 8 cdot (30 - 7) - 12 cdot (36 - 14) - 4 cdot (6 - 10) , que é det(A) = 8 cdot 23 - 12 cdot 22 - 4 cdot (-4) . A fórmula para a inversa de uma matriz 3x3 envolve o cálculo do determinante e da matriz adjunta.
Primeiro, vamos calcular o determinante de det(A) = 184 - 264 + 16 = -64 :

Passo 4

Com o determinante calculado, vamos determinar a matriz adjunta de Adj(A) = (5 cdot 6 - 7 cdot 1) & -(6 cdot 6 - 7 cdot 2) & (6 cdot 1 - 5 cdot 2) -(12 cdot 6 - (-4) cdot 1) & (8 cdot 6 - (-4) cdot 2) & -(8 cdot 1 - 12 cdot 2) (12 cdot 7 - 5 cdot (-4)) & -(8 cdot 7 - 6 cdot (-4)) & (8 cdot 5 - 6 cdot 12) . A matriz adjunta é a transposta da matriz de cofatores. Calculamos os cofatores para cada elemento de Adj(A) = 23 & -22 & -4 - (72 + 4) & (48 + 8) & - (8 - 24) (84 + 20) & - (56 + 24) & (40 - 72) :
Adj(A) = 23 & -22 & -4 -76 & 56 & 16 104 & -80 & -32
Calculando cada elemento:

Passo 5

Agora, a matriz inversa A^-1 = 1det(A) cdot Adj(A) = 1-64 cdot 23 & -22 & -4 -76 & 56 & 16 104 & -80 & -32 é dada por:
A^-1 = -2364 & 2264 & 464 7664 & -5664 & -1664 -10464 & 8064 & 3264
A^-1 = -2364 & 1132 & 116 1916 & -78 & -14 -138 & 54 & 12
Simplificando as frações:

Passo 6

Finalmente, multiplicamos x = A^-1 cdot b = -2364 & 1132 & 116 1916 & -78 & -14 -138 & 54 & 12 cdot -36 11 16 pela matriz x = -2364 cdot (-36) + 1132 cdot 11 + 116 cdot 16 para encontrar x = 82864 + 12132 + 1 :
x = 12.9375 + 3.78125 + 1 = 17.71875
Vamos calcular cada componente:
Para y = 1916 cdot (-36) + -78 cdot 11 + -14 cdot 16 :
y = -42.75 - 9.625 - 4 = -56.375
z = -138 cdot (-36) + 54 cdot 11 + 12 cdot 16
z = 58.5 + 13.75 + 8 = 80.25
Para :
Para :

Resposta

As soluções do sistema são:
x = 17.71875, y = -56.375, z = 80.25

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Dadas as matrizes
A3 times 4 & =[cccc 2 x & 5 & 1 & 4 9 & 3 & 2 & 5 y & 7 x+2 & 3 & 6 ], B3 times 4 & =[cccc 6 & 5 & 1 & z+2 y+4 & 3 & 2 & 5 5 & 23 & 3 & 6 ]
determine x, y e z para que A=B.
Se u=3 i-j-2 k, v=2 i+4 j-k e w=-i+k, determinar (k)(u times v) cdot w
Resolva os seguintes sistemas lineares utilizando o Método da Matriz Inversa: 5 x-2 y & =4 3 x-y & =3
Encontre os determinantes indicados, sabendo que
|lll a & b & c d & e & f g & h & i |=4
(b) |lll3 a & -b & 2 c 3 d & -e & 2 f 3 g & -h & 2 i|