Resolva os seguintes sistemas lineares utilizando o Método da Matriz Inversa:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o Método da Matriz Inversa. Primeiro, o que isso significa? Estamos lidando com um sistema linear, que envolve várias equações com múltiplas incógnitas. Para resolver isso, vamos precisar montar a matriz das equações, calcular a sua inversa e, com isso, encontrar os valores de
,
e
.
Passo 2
Vamos começar organizando o sistema na forma de matriz. O sistema dado é:
Podemos escrever isso como
A = 8 & 12 & -4 6 & 5 & 7 2 & 1 & 6 , x = x y z , b = -36 11 16 , onde:
Passo 3
Para encontrar
det(A) = 8 cdot (5 cdot 6 - 7 cdot 1) - 12 cdot (6 cdot 6 - 7 cdot 2) - 4 cdot (6 cdot 1 - 5 cdot 2) , precisamos calcular a matriz inversa de
det(A) = 8 cdot (30 - 7) - 12 cdot (36 - 14) - 4 cdot (6 - 10) , que é
det(A) = 8 cdot 23 - 12 cdot 22 - 4 cdot (-4) . A fórmula para a inversa de uma matriz 3x3 envolve o cálculo do determinante e da matriz adjunta.
Primeiro, vamos calcular o determinante de
det(A) = 184 - 264 + 16 = -64 :
Passo 4
Com o determinante calculado, vamos determinar a matriz adjunta de
Adj(A) = (5 cdot 6 - 7 cdot 1) & -(6 cdot 6 - 7 cdot 2) & (6 cdot 1 - 5 cdot 2) -(12 cdot 6 - (-4) cdot 1) & (8 cdot 6 - (-4) cdot 2) & -(8 cdot 1 - 12 cdot 2) (12 cdot 7 - 5 cdot (-4)) & -(8 cdot 7 - 6 cdot (-4)) & (8 cdot 5 - 6 cdot 12) . A matriz adjunta é a transposta da matriz de cofatores. Calculamos os cofatores para cada elemento de
Adj(A) = 23 & -22 & -4 - (72 + 4) & (48 + 8) & - (8 - 24) (84 + 20) & - (56 + 24) & (40 - 72) :
Calculando cada elemento:
Passo 5
Agora, a matriz inversa
A^-1 = 1det(A) cdot Adj(A) = 1-64 cdot 23 & -22 & -4 -76 & 56 & 16 104 & -80 & -32 é dada por:
Simplificando as frações:
Passo 6
Finalmente, multiplicamos
x = A^-1 cdot b = -2364 & 1132 & 116 1916 & -78 & -14 -138 & 54 & 12 cdot -36 11 16 pela matriz
x = -2364 cdot (-36) + 1132 cdot 11 + 116 cdot 16 para encontrar
x = 82864 + 12132 + 1 :
Vamos calcular cada componente:
Para
y = 1916 cdot (-36) + -78 cdot 11 + -14 cdot 16 :
Para
:
Para
:
Resposta
As soluções do sistema são:
Exercícios relacionados
Dadas as matrizes
determine
x, y e
z para que
A=B .
Se
u=3 i-j-2 k, v=2 i+4 j-k e
w=-i+k , determinar
(k)(u times v) cdot w
Resolva os seguintes sistemas lineares utilizando o Método da Matriz Inversa:
5 x-2 y & =4 3 x-y & =3
Encontre os determinantes indicados, sabendo que
(b)
|lll3 a & -b & 2 c 3 d & -e & 2 f 3 g & -h & 2 i|