Se u=3 i-j-2 k, v=2 i+4 j-k e w=-i+k, determinar (k)(u times v) cdot w

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a expressão (u times v) cdot w, que envolve produtos vetoriais e escalares. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, especificamente o produto vetorial (para encontrar um vetor perpendicular a dois vetores dados) e o produto escalar (para encontrar o valor que relaciona dois vetores). Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto vetorial entre u e v, ou seja, u times v. O produto vetorial entre dois vetores resulta em um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores originais. A fórmula para o produto vetorial é dada pelo determinante de uma matriz:
u times v = i & j & k 3 & -1 & -2 2 & 4 & -1
Vamos calcular esse determinante:
u times v = i cdot -1 & -2 4 & -1 - j cdot 3 & -2 2 & -1 + k cdot 3 & -1 2 & 4
Calculando cada menor:
-1 & -2 4 & -1 = (-1)(-1) - (-2)(4) = 1 + 8 = 9
3 & -2 2 & -1 = (3)(-1) - (-2)(2) = -3 + 4 = 1
3 & -1 2 & 4 = (3)(4) - (-1)(2) = 12 + 2 = 14
Então, o produto vetorial fica:
u times v = 9i - 1j + 14k = 9i - j + 14k

Passo 3

Agora que temos u times v = 9i - j + 14k, vamos calcular o produto escalar desse vetor com w = -i + k. O produto escalar entre dois vetores é dado pela soma dos produtos das componentes correspondentes:
(u times v) cdot w = (9)(-1) + (-1)(0) + (14)(1)
Aqui, note que w não tem componente na direção j, então consideramos essa componente como 0.
Calculando:
(u times v) cdot w = -9 + 0 + 14 = 5

Resposta

O valor de (u times v) cdot w é 5.

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A3 times 4 & =[cccc 2 & 5 & 1 & 4 -1 & -3 & -12 & 0 1 & -1 & 3 & 6 ], B3 times 4 & =[cccc -3 & 2 & -3 & 1 -4 & 3 & -2 & 5 5 & 2 & 3 & 6 ]
Calcule:
b) 2 A+3 B
Use propriedades para calcular o valor do determinante indicado, por inspeção direta. Explique seu raciocínio.
© |ccc0 & 0 & 1 0 & 5 & 2 3 & -1 & 4|
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