Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a expressão , que envolve produtos vetoriais e escalares. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, especificamente o produto vetorial (para encontrar um vetor perpendicular a dois vetores dados) e o produto escalar (para encontrar o valor que relaciona dois vetores). Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o produto vetorial entre e , ou seja, . O produto vetorial entre dois vetores resulta em um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores originais. A fórmula para o produto vetorial é dada pelo determinante de uma matriz:
Vamos calcular esse determinante:
u times v = i cdot -1 & -2 4 & -1 - j cdot 3 & -2 2 & -1 + k cdot 3 & -1 2 & 4
Calculando cada menor:
-1 & -2 4 & -1 = (-1)(-1) - (-2)(4) = 1 + 8 = 9
3 & -2 2 & -1 = (3)(-1) - (-2)(2) = -3 + 4 = 1
3 & -1 2 & 4 = (3)(4) - (-1)(2) = 12 + 2 = 14
Então, o produto vetorial fica:
u times v = 9i - 1j + 14k = 9i - j + 14k
Passo 3
Agora que temos u times v = 9i - j + 14k, vamos calcular o produto escalar desse vetor com w = -i + k. O produto escalar entre dois vetores é dado pela soma dos produtos das componentes correspondentes:
(u times v) cdot w = (9)(-1) + (-1)(0) + (14)(1)
Aqui, note que w não tem componente na direção j, então consideramos essa componente como 0.