Resolva os seguintes sistemas pelo método de eliminação de Gauss ou de Gauss-Jordan, dando quando for possível seu grau de liberdade.
(f) llrx1+2 x2-x3 & = & 5 x1+x2+x3 & = & 1 2 x1-2 x2+x3 & = & 4 5 x1+3 x2 & = & -15

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sistema de quatro equações com três incógnitas , e . O conteúdo que vamos usar aqui é o método de eliminação de Gauss, que serve para resolver sistemas lineares. Precisamos organizar essas equações em uma matriz aumentada e simplificar para encontrar os valores das incógnitas ou identificar se há infinitas soluções (grau de liberdade).

Passo 2

Vamos escrever o sistema como uma matriz aumentada. Cada linha representa uma equação e as colunas representam os coeficientes de 1 & 2 & -1 & | & 5 1 & 1 & 1 & | & 1 2 & -2 & 1 & | & 4 5 & 3 & 0 & | & -15 , , , e o termo constante:

Passo 3

Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma escalonada. Vamos começar eliminando o R2 = R2 - R1 Rightarrow (1-1, 1-2, 1-(-1), 1-5) = (0, -1, 2, -4) das segunda, terceira e quarta linhas usando a primeira linha.
Subtraímos a primeira linha da segunda linha:
R3 = R3 - 2R1 Rightarrow (2-2, -2-4, 1-(-2), 4-10) = (0, -6, 3, -6)
Subtraímos 2 vezes a primeira linha da terceira linha:
R4 = R4 - 5R1 Rightarrow (5-5, 3-10, 0-(-5), -15-25) = (0, -7, 5, -40)
Subtraímos 5 vezes a primeira linha da quarta linha:
1 & 2 & -1 & | & 5 0 & -1 & 2 & | & -4 0 & -6 & 3 & | & -6 0 & -7 & 5 & | & -40
A matriz agora fica:

Passo 4

Agora, vamos simplificar a segunda linha para facilitar a eliminação. Vamos multiplicar a segunda linha por R2 = -1 cdot R2 Rightarrow (0, 1, -2, 4) :
1 & 2 & -1 & | & 5 0 & 1 & -2 & | & 4 0 & -6 & 3 & | & -6 0 & -7 & 5 & | & -40
Nossa matriz fica:

Passo 5

Vamos eliminar o R3 = R3 + 6R2 Rightarrow (0, -6+6, 3+(-12), -6+24) = (0, 0, -9, 18) das terceira e quarta linhas usando a segunda linha.
Para a terceira linha:
R4 = R4 + 7R2 Rightarrow (0, -7+7, 5+(-14), -40+28) = (0, 0, -9, -12)
Para a quarta linha:
1 & 2 & -1 & | & 5 0 & 1 & -2 & | & 4 0 & 0 & -9 & | & 18 0 & 0 & -9 & | & -12
A matriz agora é:

Passo 6

Observamos que as terceira e quarta linhas estão relacionadas. Vamos simplificar a terceira linha dividindo por R3 = R3-9 Rightarrow (0, 0, 1, -2) :
R4 = R4 + 9R3 Rightarrow (0, 0, -9 + 9, -12 + (-18)) = (0, 0, 0, -30)
Agora, substituímos essa informação na quarta linha:
1 & 2 & -1 & | & 5 0 & 1 & -2 & | & 4 0 & 0 & 1 & | & -2 0 & 0 & 0 & | & -30
A matriz fica:

Passo 7

Agora, observamos que a última linha nos dá a equação , o que é impossível. Isso significa que o sistema não tem solução. Em termos simples, as equações são inconsistentes entre si.

Resposta

O sistema não possui solução única nem soluções múltiplas; ele é inconsistente.

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