São listados nos itens abaixo conjuntos munidos de operações de soma vetorial e multiplicação escalar. Determine quais deles têm essas operações bem definidas para todos os seus elementos (no sentido de definirem elementos de ), e quais destes satisfazem os axiomas de um espaço vetorial (real). Justifique por que os restantes não são espaços vetoriais mostrando que pelo menos um dos axiomas de espaço vetorial falha, ou que uma das duas operações não é sempre bem definida em . m.)
com as operações usuais de soma vetorial e multiplicação escalar em M2 times 2(R) (ver Exercício 3 acima);
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para analisar o conjunto formado por matrizes específicas com operações usuais de soma e multiplicação por escalar. Nosso objetivo é verificar se essas operações estão bem definidas para todos os elementos de e se satisfaz os axiomas de um espaço vetorial real. Para isso, vamos precisar entender o que são espaços vetoriais, operações bem definidas e verificar alguns axiomas fundamentais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o conjunto V = a & 1 1 & b in M2 times 2(R) |, a, b in R . Ele é definido assim:
Isso significa que é o conjunto de todas as matrizes onde os termos e podem ser quaisquer números reais, mas os termos fora da diagonal são sempre 1.
Passo 3
Agora, vamos verificar se a soma vetorial está bem definida em a1 & 1 1 & b1 + a2 & 1 1 & b2 = a1 + a2 & 1 + 1 1 + 1 & b1 + b2 = a1 + a2 & 2 2 & b1 + b2 . Isso significa que, ao somarmos duas matrizes de , o resultado também deve pertencer a .
Vamos somar duas matrizes genéricas de :
$$
+
$$
Observamos que os termos fora da diagonal agora são 2, não mais 1.
Passo 4
Como os termos fora da diagonal da soma são 2, isso não pertence mais ao conjunto , que exige que esses termos sejam sempre 1. Portanto, a soma de duas matrizes de não está fechada em . Isso significa que a operação de soma vetorial não está bem definida para todos os elementos de .
Passo 5
Como a operação de soma não está bem definida, já podemos concluir que não é um espaço vetorial. Para ser um espaço vetorial, todas as operações definidas devem permanecer dentro do conjunto e satisfazer os axiomas vetoriais.
Resposta
O conjunto com as operações usuais de soma vetorial e multiplicação escalar não é um espaço vetorial, pois a soma de duas matrizes de resulta em uma matriz cujos termos fora da diagonal são 2, o que não pertence a . Portanto, a operação de soma vetorial não está bem definida em , violando assim os axiomas necessários para ser um espaço vetorial.