Resolva os seguintes sistemas pelo método de eliminação de Gauss ou de Gauss-Jordan, dando quando for possível seu grau de liberdade.
(d) x+y+z+w= & 0 x+y+z-w & =4 x+y-z+w & =-4 x-y+z+w & =2

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. Você tem um sistema de 4 equações com 4 incógnitas: , , e . A gente vai resolver isso usando o método de eliminação de Gauss, que é basicamente uma forma de simplificar as equações para achar os valores das incógnitas. Para isso, vamos manipular as equações para eliminar uma variável de cada vez até chegar numa solução mais fácil.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz aumentada do sistema. Isso significa organizar os coeficientes das variáveis e os termos constantes em uma tabela:
1 & 1 & 1 & 1 & | & 0 1 & 1 & 1 & -1 & | & 4 1 & 1 & -1 & 1 & | & -4 1 & -1 & 1 & 1 & | & 2

Passo 3

Agora, vamos começar a eliminar (1-1)x + (1-1)y + (1-1)z + (-1-1)w = 4 - 0 Rightarrow 0x + 0y + 0z -2w = 4 das equações abaixo da primeira. Para isso, subtraímos a primeira linha da segunda, terceira e quarta linhas:
  • Linha2 - Linha1:
(1-1)x + (1-1)y + (-1-1)z + (1-1)w = -4 - 0 Rightarrow 0x + 0y -2z + 0w = -4
  • Linha3 - Linha1:
(1-1)x + (-1-1)y + (1-1)z + (1-1)w = 2 - 0 Rightarrow 0x -2y + 0z + 0w = 2
  • Linha4 - Linha1:
1 & 1 & 1 & 1 & | & 0 0 & 0 & 0 & -2 & | & 4 0 & 0 & -2 & 0 & | & -4 0 & -2 & 0 & 0 & | & 2
Então, a matriz fica assim:

Passo 4

Vamos simplificar as equações resultantes:
  • Da segunda linha:
-2w = 4 Rightarrow w = 4-2 = -2
  • Da terceira linha:
-2z = -4 Rightarrow z = -4-2 = 2
  • Da quarta linha:
-2y = 2 Rightarrow y = 2-2 = -1

Passo 5

Agora que já temos os valores de x + y + z + w = 0 x + (-1) + 2 + (-2) = 0 x -1 + 2 -2 = 0 x -1 = 0 Rightarrow x = 1 , e , vamos substituir esses valores na primeira equação para encontrar :

Resposta

A solução do sistema é:
x = 1, y = -1, z = 2, w = -2

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