Resolva os seguintes sistemas, usando a matriz inversa. ( x=A^-1 b, verifique se a matriz inversa existe.)
& -2 x1+x2+6 x3=18 & 5 x1+8 x3=-16 & 3 x1+2 x2-10 x3=-3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando a matriz inversa. Estamos trabalhando com álgebra linear, especificamente com sistemas lineares. Para isso, vamos precisar montar a matriz dos coeficientes, verificar se ela tem inversa e, se tiver, usar a fórmula para encontrar as soluções das incógnitas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma matricial A = -2 & 1 & 6 5 & 0 & 8 3 & 2 & -10 , x = x1 x2 x3 , b = 18 -16 -3 . Aqui, é a matriz dos coeficientes, é o vetor das incógnitas e é o vetor dos termos constantes.

Passo 3

Agora, precisamos verificar se a matriz det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) tem inversa. Para isso, vamos calcular o determinante de det(A) = (-2)(0 cdot (-10) - 8 cdot 2) - 1(5 cdot (-10) - 8 cdot 3) + 6(5 cdot 2 - 0 cdot 3) . Se o determinante for diferente de zero, a matriz é inversível.
O determinante de uma matriz 3x3 é calculado assim:
det(A) = (-2)(0 + (-16)) - 1(-50 - 24) + 6(10 - 0)
Aplicando aos nossos valores:
det(A) = (-2)(-16) - 1(-74) + 6(10) = 32 + 74 + 60 = 166
Como o determinante é 166, que é diferente de zero, a matriz tem inversa.

Passo 4

Vamos encontrar a matriz inversa A^-1 = 1det(A) cdot adj(A) . Para uma matriz 3x3, a inversa é dada por:
Cofator(A) = C11 & C12 & C13 C21 & C22 & C23 C31 & C32 & C33
Onde C11 = 0 & 8 2 & -10 = (0)(-10) - (8)(2) = -16 é a matriz adjunta, que é a transposta da matriz dos cofatores.
Primeiro, calculamos os cofatores de cada elemento de C12 = - 5 & 8 3 & -10 = -[(5)(-10) - (8)(3)] = -(-50 -24) = 74 :
C13 = 5 & 0 3 & 2 = (5)(2) - (0)(3) = 10
Calculando cada cofator:
C21 = - 1 & 6 2 & -10 = -[(1)(-10) - (6)(2)] = -(-10 -12) = 22
C22 = -2 & 6 3 & -10 = (-2)(-10) - (6)(3) = 20 -18 = 2
C23 = - -2 & 1 3 & 2 = -[(-2)(2) - (1)(3)] = -(-4 -3) = 7
C31 = 1 & 6 0 & 8 = (1)(8) - (6)(0) = 8
C32 = - -2 & 6 5 & 8 = -[(-2)(8) - (6)(5)] = -(-16 -30) = 46
C33 = -2 & 1 5 & 0 = (-2)(0) - (1)(5) = -5
Cofator(A) = -16 & 74 & 10 22 & 2 & 7 8 & 46 & -5
adj(A) = -16 & 22 & 8 74 & 2 & 46 10 & 7 & -5
A^-1 = 1166 cdot -16 & 22 & 8 74 & 2 & 46 10 & 7 & -5
Então, a matriz dos cofatores é:
A adjunta é a transposta da matriz dos cofatores:
Finalmente, a inversa é:

Passo 5

Agora que temos x = 1166 cdot -16 & 22 & 8 74 & 2 & 46 10 & 7 & -5 cdot 18 -16 -3 , vamos calcular x1 = 1166 [ (-16)(18) + (22)(-16) + (8)(-3) ] = 1166 [ -288 -352 -24 ] = 1166 [ -664 ] = -4 .
Multiplicando a matriz inversa pelo vetor x2 = 1166 [ (74)(18) + (2)(-16) + (46)(-3) ] = 1166 [ 1332 -32 -138 ] = 1166 [ 1162 ] approx 7 :
x3 = 1166 [ (10)(18) + (7)(-16) + (-5)(-3) ] = 1166 [ 180 -112 +15 ] = 1166 [ 83 ] approx 0.5
Vamos fazer essa multiplicação passo a passo:
Para :
Para :
Para :

Resposta

As soluções do sistema são:
x1 = -4, x2 = 7, x3 = 0.5

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