Resolva o sistema
c x+2 y+z-w=4 2 x+y-3 z+w=-1 -x+y+z+w=8

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações juntos! O que a gente tem aqui é um sistema com quatro variáveis: , , e , e três equações. A matéria que vamos usar é a resolução de sistemas lineares, e para isso, vamos precisar usar métodos como substituição ou eliminação para encontrar os valores das variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações de forma organizada:
x + 2y + z - w = 4 (1) 2x + y - 3z + w = -1 (2) - x + y + z + w = 8 (3)

Passo 3

Vamos tentar eliminar uma das variáveis para simplificar o sistema. Vamos começar eliminando o (x + 2y + z - w) + (2x + y - 3z + w) = 4 + (-1) . Para isso, vamos somar as equações de forma que o 3x + 3y - 2z = 3 (4) se cancele.
Somando as equações (1) e (2):
Isso resulta em:

Passo 4

Agora, vamos somar as equações (1) e (3):
(x + 2y + z - w) + (-x + y + z + w) = 4 + 8
Isso simplifica para:
3y + 2z = 12 (5)

Passo 5

Agora temos um sistema com duas equações e três variáveis:
3x + 3y - 2z = 3 (4) 3y + 2z = 12 (5)
Vamos resolver a equação (5) para uma das variáveis. Vamos resolver para 3y + 2z = 12 3y = 12 - 2z y = 12 - 2z3 y = 4 - 23z :

Passo 6

Agora que temos 3x + 3(4 - 23z) - 2z = 3 em termos de 3x + 12 - 2z - 2z = 3 3x + 12 - 4z = 3 , vamos substituir esse valor na equação (4):
3x = 3 - 12 + 4z 3x = -9 + 4z x = -9 + 4z3 x = -3 + 43z
Distribuindo o 3:
Agora, isolamos :

Passo 7

Até agora, expressamos x + 2y + z - w = 4 e (-3 + 43z) + 2(4 - 23z) + z - w = 4 em termos de -3 + 43z + 8 - 43z + z - w = 4 . Agora, precisamos encontrar -3 + 8 + z - w = 4 5 + z - w = 4 . Para isso, vamos usar uma das equações originais. Vamos utilizar a equação (1):
z - w = -1 -w = -1 - z w = 1 + z
Substituindo e :
Distribuindo e simplificando:
Observamos que , então:
Isolando :

Passo 8

Agora, temos todas as variáveis expressas em termos de x = -3 + 43z y = 4 - 23z w = 1 + z :
Como temos três equações para quatro variáveis, precisamos escolher um valor para . Geralmente, deixamos como um parâmetro, digamos , onde é um número real qualquer.

Passo 9

Substituindo x = -3 + 43t y = 4 - 23t z = t w = 1 + t :

Resposta

A solução geral do sistema é:
x = -3 + dfrac43t y = 4 - dfrac23t z = t w = 1 + t
onde é um número real qualquer.

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