Resolva o sistema

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações juntos! O que a gente tem aqui é um sistema com quatro variáveis: , , e , e três equações. A matéria que vamos usar é a resolução de sistemas lineares, e para isso, vamos precisar usar métodos como substituição ou eliminação para encontrar os valores das variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações de forma organizada:

Passo 3

Vamos tentar eliminar uma das variáveis para simplificar o sistema. Vamos começar eliminando o . Para isso, vamos somar as equações de forma que o se cancele.
Somando as equações (1) e (2):
Isso resulta em:

Passo 4

Agora, vamos somar as equações (1) e (3):
Isso simplifica para:

Passo 5

Agora temos um sistema com duas equações e três variáveis:
Vamos resolver a equação (5) para uma das variáveis. Vamos resolver para :

Passo 6

Agora que temos em termos de , vamos substituir esse valor na equação (4):
Distribuindo o 3:
Agora, isolamos :

Passo 7

Até agora, expressamos e em termos de . Agora, precisamos encontrar . Para isso, vamos usar uma das equações originais. Vamos utilizar a equação (1):
Substituindo e :
Distribuindo e simplificando:
Observamos que , então:
Isolando :

Passo 8

Agora, temos todas as variáveis expressas em termos de :
Como temos três equações para quatro variáveis, precisamos escolher um valor para . Geralmente, deixamos como um parâmetro, digamos , onde é um número real qualquer.

Passo 9

Substituindo :

Resposta

A solução geral do sistema é:
onde é um número real qualquer.

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Sejam e os seguintes subespaços de
É verdade que ? Em algum dos casos a soma é direta?
Dados os vetores e , calcular:
Determine a solução da equação de Riccati: .
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