É verdade que ? Em algum dos casos a soma é direta?
Passo 1
Então, a gente tem três subespaços de : , e . O exercício pergunta se as somas desses subespaços (, e ) resultam no espaço todo e se alguma dessas somas é direta. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de somas de subespaços e somas diretas, além de trabalhar com vetores e soluções de sistemas lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a soma de dois subespaços. A soma é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como , onde e . Nosso objetivo é verificar se essas somas preenchem todo .
Passo 3
Vamos começar com . Precisamos mostrar que qualquer vetor em pode ser escrito como a soma de um vetor de e um vetor de .
Sabemos que:
Então, qualquer vetor em tem a forma e qualquer vetor em tem a forma .
Para que , devemos ter:
Resolvendo:
Então, podemos escrever qualquer vetor como , que está em . Portanto, .
Passo 4
Agora, vamos verificar se a soma é direta. Para que a soma seja direta, a interseção deve conter apenas o vetor zero.
Vamos encontrar :
Vetores em :
Vetores em :
Igualando: , o que implica , e . Então, , o que significa que a soma é direta.
Passo 5
Vamos agora analisar . Queremos verificar se qualquer vetor pode ser escrito como a soma de um vetor de e um vetor de .
Sabemos que:
Então, queremos onde .
Isso dá:
Além disso,
Resolvendo o sistema:
De , temos
De , temos
Substituindo em : ⇒
De , temos
Escolhemos livremente, por exemplo, :
Então, qualquer vetor pode ser escrito como , que está em . Portanto, .
Passo 6
Vamos verificar se é direta. Precisamos encontrar .
Vetores em :
Vetores em : com
Igualando: deve satisfazer . Então, .
Portanto, , que contém mais que o vetor zero. Logo, a soma não é direta.
Passo 7
Por último, vamos analisar . Queremos ver se qualquer vetor pode ser escrito como a soma de um vetor de e um vetor de .
Sabemos que:
Então, queremos onde .
Isso dá:
Além disso, (pois )
Resolvendo:
De , temos
De , temos
Portanto, qualquer vetor pode ser escrito como , que está em . Assim, .
Passo 8
Vamos verificar se é uma soma direta. Precisamos encontrar .
Vetores em :
Vetores em : com
Igualando: deve satisfazer . Então, , que contém apenas o vetor zero. Logo, a soma é direta.