Sejam e os seguintes subespaços de
É verdade que ? Em algum dos casos a soma é direta?

Passo 1

Então, a gente tem três subespaços de : , e . O exercício pergunta se as somas desses subespaços ( , e ) resultam no espaço todo e se alguma dessas somas é direta. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de somas de subespaços e somas diretas, além de trabalhar com vetores e soluções de sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a soma de dois subespaços. A soma é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como , onde e . Nosso objetivo é verificar se essas somas preenchem todo .

Passo 3

Vamos começar com . Precisamos mostrar que qualquer vetor em pode ser escrito como a soma de um vetor de e um vetor de .
Sabemos que:
Então, qualquer vetor em tem a forma e qualquer vetor em tem a forma .
Para que , devemos ter:
Resolvendo:
Então, podemos escrever qualquer vetor como , que está em . Portanto, .

Passo 4

Agora, vamos verificar se a soma é direta. Para que a soma seja direta, a interseção deve conter apenas o vetor zero.
Vamos encontrar :
  • Vetores em :
  • Vetores em :
Igualando: , o que implica , e . Então, , o que significa que a soma é direta.

Passo 5

Vamos agora analisar . Queremos verificar se qualquer vetor pode ser escrito como a soma de um vetor de e um vetor de .
Sabemos que:
Então, queremos onde .
Isso dá:
  • Além disso,
Resolvendo o sistema:
  • De , temos
  • De , temos
  • Substituindo em :
  • De , temos
Escolhemos livremente, por exemplo, :
Então, qualquer vetor pode ser escrito como , que está em . Portanto, .

Passo 6

Vamos verificar se é direta. Precisamos encontrar .
Vetores em :
Vetores em : com
Igualando: deve satisfazer . Então, .
Portanto, , que contém mais que o vetor zero. Logo, a soma não é direta.

Passo 7

Por último, vamos analisar . Queremos ver se qualquer vetor pode ser escrito como a soma de um vetor de e um vetor de .
Sabemos que:
Então, queremos onde .
Isso dá:
  • Além disso, (pois )
Resolvendo:
  • De , temos
  • De , temos
Portanto, qualquer vetor pode ser escrito como , que está em . Assim, .

Passo 8

Vamos verificar se é uma soma direta. Precisamos encontrar .
Vetores em :
Vetores em : com
Igualando: deve satisfazer . Então, , que contém apenas o vetor zero. Logo, a soma é direta.

Resposta

Sim, . Além disso, as somas e são diretas.

Exercícios relacionados

Dados os vetores e , calcular:
Sejam o espaço vetorial de todas as funções reais e
subespaços de . Mostre que .
Resolva o sistema
Determine a solução da equação de Riccati: .