Sejam
e
os seguintes subespaços de
É verdade que
? Em algum dos casos a soma é direta?
Passo 1
Então, a gente tem três subespaços de
:
,
e
. O exercício pergunta se as somas desses subespaços (
,
e
) resultam no espaço todo
e se alguma dessas somas é direta. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de somas de subespaços e somas diretas, além de trabalhar com vetores e soluções de sistemas lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a soma de dois subespaços. A soma
é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como
, onde
e
. Nosso objetivo é verificar se essas somas preenchem todo
.
Passo 3
Vamos começar com
. Precisamos mostrar que qualquer vetor
em
pode ser escrito como a soma de um vetor de
e um vetor de
.
Sabemos que:
Então, qualquer vetor em
tem a forma
e qualquer vetor em
tem a forma
.
Para que
, devemos ter:
Resolvendo:
Então, podemos escrever qualquer vetor
como
, que está em
. Portanto,
.
Passo 4
Agora, vamos verificar se a soma
é direta. Para que a soma seja direta, a interseção
deve conter apenas o vetor zero.
Vamos encontrar
:
- Vetores em
: - Vetores em
:
Igualando:
, o que implica
,
e
. Então,
, o que significa que a soma é direta.
Passo 5
Vamos agora analisar
. Queremos verificar se qualquer vetor
pode ser escrito como a soma de um vetor de
e um vetor de
.
Sabemos que:
Então, queremos
onde
.
Isso dá:
-
-
-
- Além disso,
Resolvendo o sistema:
- De
, temos - De
, temos - Substituindo em
: ⇒ - De
, temos
Escolhemos
livremente, por exemplo,
:
Então, qualquer vetor
pode ser escrito como
, que está em
. Portanto,
.
Passo 6
Vamos verificar se
é direta. Precisamos encontrar
.
Vetores em
:
Vetores em :
com
Vetores em
Igualando:
deve satisfazer
. Então,
.
Portanto,
, que contém mais que o vetor zero. Logo, a soma
não é direta.
Passo 7
Por último, vamos analisar
. Queremos ver se qualquer vetor
pode ser escrito como a soma de um vetor de
e um vetor de
.
Sabemos que:
Então, queremos
onde
.
Isso dá:
-
-
-
- Além disso,
(pois )
Resolvendo:
- De
, temos - De
, temos
Portanto, qualquer vetor
pode ser escrito como
, que está em
. Assim,
.
Passo 8
Vamos verificar se
é uma soma direta. Precisamos encontrar
.
Vetores em
:
Vetores em :
com
Vetores em
Igualando:
deve satisfazer
. Então,
, que contém apenas o vetor zero. Logo, a soma
é direta.
Resposta
Sim,
. Além disso, as somas
e
são diretas.