Para cada uma das matrizes abaixo encontre a matriz LRFE equivalente, e determine matrizes elementares tais que :
Passo 1
Vamos resolver a primeira matriz:
A = 1 & 4 & 1 2 & 0 & 10 8 & 1 & 5
Nosso objetivo é encontrar a Forma Reduzida por Escalonamento de Linha (LRFE) equivalente a essa matriz e determinar as matrizes elementares que satisfazem , onde é a matriz em LRFE.
Para isso, vamos utilizar operações elementares de linha, que são passos que modificam a matriz sem alterar suas propriedades essenciais.
Passo 2
Começamos observando que o primeiro elemento da primeira linha já é 1, o que facilita o processo. Vamos usar esse 1 para zerar os elementos abaixo dele na primeira coluna.
Isso significa que queremos que os elementos e se tornem zero.
Passo 3
Primeiro, eliminamos o elemento L2 = L2 - 2L1 .
Fazemos isso subtraindo 2 vezes a primeira linha da segunda linha:
Agora, focamos no segundo pivô, que está na posição L2 = 1-8 L2 com valor 1 & 4 & 1 0 & 1 & -1 0 & -31 & -3 . Vamos transformá-lo em 1 dividindo a segunda linha por :
Aplicando a operação:
Passo 6
Com o segundo pivô igual a 1, vamos usá-lo para zerar o elemento abaixo dele na coluna 2, ou seja, L3 = L3 + 31L2 .
Fazemos isso adicionando 31 vezes a segunda linha à terceira linha:
Essas matrizes, quando multiplicadas na ordem , transformam a matriz na matriz .
Passo 10
Agora, vamos resolver a segunda matriz:
A = 8 & 1 & 6 2 & -7 & 3 1 & 4 & 1
Nosso objetivo é o mesmo: encontrar a LRFE equivalente e as matrizes elementares que transformam em .
Passo 11
Começamos pelo primeiro pivô, que é 8 na posição . Vamos usá-lo para zerar os elementos abaixo na primeira coluna.
Passo 12
Primeiro, eliminamos L2 = L2 - 14L1 .
Fazemos isso subtraindo 8 & 1 & 6 2 - 28 cdot 8 & -7 - 28 cdot 1 & 3 - 28 cdot 6 1 & 4 & 1 = 8 & 1 & 6 0 & -7.5 & 1.5 1 & 4 & 1 vezes a primeira linha da segunda linha:
Aplicando a operação:
$$
$$
Passo 13
Em seguida, eliminamos L3 = L3 - 18L1 .
Fazemos isso subtraindo 8 & 1 & 6 0 & -7.5 & 1.5 1 - 18 cdot 8 & 4 - 18 cdot 1 & 1 - 18 cdot 6 = 8 & 1 & 6 0 & -7.5 & 1.5 0 & 3.875 & -0.75 vezes a primeira linha da terceira linha:
Aplicando a operação:
$$
$$
Passo 14
Agora, focamos no segundo pivô, que está na posição L2 = 1-7.5 L2 . Vamos torná-lo 1 dividindo a segunda linha por 8 & 1 & 6 0 & 1 & -0.2 0 & 3.875 & -0.75 :
Aplicando a operação:
Passo 15
Com o segundo pivô igual a 1, vamos zerar o elemento abaixo dele na coluna 2, ou seja, L3 = L3 - 3.875L2 .