Para cada uma das matrizes abaixo encontre a matriz LRFE B equivalente, e determine matrizes elementares E1, E2, ldots, Ek tais que E1 E2 cdots Ek A=B :
A=(ccc 1 & 4 & 1 2 & 0 & 10 8 & 1 & 5 ) A=(ccc 8 & 1 & 6 2 & -7 & 3 1 & 4 & 1 ) A=(ccc 2 & 3 & 1 2 & 1 & -1 2 & -7 & 2 )

Passo 1

Vamos resolver a primeira matriz:
A = 1 & 4 & 1 2 & 0 & 10 8 & 1 & 5
Nosso objetivo é encontrar a Forma Reduzida por Escalonamento de Linha (LRFE) equivalente a essa matriz e determinar as matrizes elementares que satisfazem , onde é a matriz em LRFE.
Para isso, vamos utilizar operações elementares de linha, que são passos que modificam a matriz sem alterar suas propriedades essenciais.

Passo 2

Começamos observando que o primeiro elemento da primeira linha já é 1, o que facilita o processo. Vamos usar esse 1 para zerar os elementos abaixo dele na primeira coluna.
Isso significa que queremos que os elementos e se tornem zero.

Passo 3

Primeiro, eliminamos o elemento L2 = L2 - 2L1 .
Fazemos isso subtraindo 2 vezes a primeira linha da segunda linha:
1 & 4 & 1 2-2(1) & 0-2(4) & 10-2(1) 8 & 1 & 5 = 1 & 4 & 1 0 & -8 & 8 8 & 1 & 5

Aplicando a operação:
$$

$$

Passo 4

Agora, eliminamos o elemento L3 = L3 - 8L1 .
Fazemos isso subtraindo 8 vezes a primeira linha da terceira linha:
1 & 4 & 1 0 & -8 & 8 8-8(1) & 1-8(4) & 5-8(1) = 1 & 4 & 1 0 & -8 & 8 0 & -31 & -3

Aplicando a operação:
$$

$$

Passo 5

Agora, focamos no segundo pivô, que está na posição L2 = 1-8 L2 com valor 1 & 4 & 1 0 & 1 & -1 0 & -31 & -3 . Vamos transformá-lo em 1 dividindo a segunda linha por :
Aplicando a operação:

Passo 6

Com o segundo pivô igual a 1, vamos usá-lo para zerar o elemento abaixo dele na coluna 2, ou seja, L3 = L3 + 31L2 .
Fazemos isso adicionando 31 vezes a segunda linha à terceira linha:
1 & 4 & 1 0 & 1 & -1 0 + 31(0) & -31 + 31(1) & -3 + 31(-1) = 1 & 4 & 1 0 & 1 & -1 0 & 0 & -34

Aplicando a operação:
$$

$$

Passo 7

Finalmente, normalizamos o terceiro pivô, que está na posição L3 = 1-34 L3 com valor 1 & 4 & 1 0 & 1 & -1 0 & 0 & 1 . Dividimos a terceira linha por :
Aplicando a operação:

Passo 8

Agora que a matriz está em Forma Reduzida por Escalonamento de Linha (LRFE), identificamos a matriz B = 1 & 4 & 1 0 & 1 & -1 0 & 0 & 1 :
Para determinar as matrizes elementares , precisamos representar cada operação realizada como uma matriz.
As operações realizadas foram:
Cada uma dessas operações corresponde a uma matriz elementar que, quando multiplicada pela matriz , gera a transformação correspondente.

Passo 9

As matrizes elementares são:
E1 = 1 & 0 & 0 -2 & 1 & 0 0 & 0 & 1 , E2 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 -8 & 0 & 1 ,
E3 = 1 & 0 & 0 0 & -18 & 0 0 & 0 & 1 , E4 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 31 & 1 ,
E5 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & -134
Essas matrizes, quando multiplicadas na ordem , transformam a matriz na matriz .

Passo 10

Agora, vamos resolver a segunda matriz:
A = 8 & 1 & 6 2 & -7 & 3 1 & 4 & 1
Nosso objetivo é o mesmo: encontrar a LRFE equivalente e as matrizes elementares que transformam em .

Passo 11

Começamos pelo primeiro pivô, que é 8 na posição . Vamos usá-lo para zerar os elementos abaixo na primeira coluna.

Passo 12

Primeiro, eliminamos L2 = L2 - 14L1 .
Fazemos isso subtraindo 8 & 1 & 6 2 - 28 cdot 8 & -7 - 28 cdot 1 & 3 - 28 cdot 6 1 & 4 & 1 = 8 & 1 & 6 0 & -7.5 & 1.5 1 & 4 & 1 vezes a primeira linha da segunda linha:

Aplicando a operação:
$$

$$

Passo 13

Em seguida, eliminamos L3 = L3 - 18L1 .
Fazemos isso subtraindo 8 & 1 & 6 0 & -7.5 & 1.5 1 - 18 cdot 8 & 4 - 18 cdot 1 & 1 - 18 cdot 6 = 8 & 1 & 6 0 & -7.5 & 1.5 0 & 3.875 & -0.75 vezes a primeira linha da terceira linha:

Aplicando a operação:
$$

$$

Passo 14

Agora, focamos no segundo pivô, que está na posição L2 = 1-7.5 L2 . Vamos torná-lo 1 dividindo a segunda linha por 8 & 1 & 6 0 & 1 & -0.2 0 & 3.875 & -0.75 :
Aplicando a operação:

Passo 15

Com o segundo pivô igual a 1, vamos zerar o elemento abaixo dele na coluna 2, ou seja, L3 = L3 - 3.875L2 .
Fazemos isso subtraindo 8 & 1 & 6 0 & 1 & -0.2 0 & 3.875 - 3.875(1) & -0.75 - 3.875(-0.2) = 8 & 1 & 6 0 & 1 & -0.2 0 & 0 & -0.75 + 0.775 = 8 & 1 & 6 0 & 1 & -0.2 0 & 0 & 0.025 vezes a segunda linha da terceira linha:

Aplicando a operação:
$$

$$

Passo 16

Finalmente, normalizamos o terceiro pivô, que está na posição L3 = 10.025 L3 . Dividimos a terceira linha por 0.025:
8 & 1 & 6 0 & 1 & -0.2 0 & 0 & 1
Aplicando a operação:

Passo 17

A matriz agora está em LRFE. A matriz B = 8 & 1 & 6 0 & 1 & -0.2 0 & 0 & 1 equivalente é:
Para determinar as matrizes elementares , representamos cada operação realizada:

Passo 18

As matrizes elementares são:
E1 = 1 & 0 & 0 -14 & 1 & 0 0 & 0 & 1 , E2 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 -18 & 0 & 1 ,
E3 = 1 & 0 & 0 0 & -17.5 & 0 0 & 0 & 1 , E4 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & -3.875 & 1 ,
E5 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 40
Essas matrizes, multiplicadas na ordem , transformam a matriz na matriz .

Passo 19

Por fim, vamos resolver a terceira matriz:
A = 2 & 3 & 1 2 & 1 & -1 2 & -7 & 2
Nosso objetivo continua sendo encontrar a LRFE equivalente e as matrizes elementares correspondentes.

Passo 20

Começamos pelo primeiro pivô, que é 2 na posição . Vamos usá-lo para zerar os elementos abaixo na primeira coluna.

Passo 21

Primeiro, eliminamos L2 = L2 - L1 .
Fazemos isso subtraindo a primeira linha da segunda linha:
2 & 3 & 1 2-2 & 1-3 & -1-1 2 & -7 & 2 = 2 & 3 & 1 0 & -2 & -2 2 & -7 & 2

Aplicando a operação:
$$

$$

Passo 22

Em seguida, eliminamos L3 = L3 - L1 .
Fazemos isso subtraindo a primeira linha da terceira linha:
2 & 3 & 1 0 & -2 & -2 2-2 & -7-3 & 2-1 = 2 & 3 & 1 0 & -2 & -2 0 & -10 & 1

Aplicando a operação:
$$

$$

Passo 23

Agora, focamos no segundo pivô, que está na posição L2 = 1-2 L2 . Vamos torná-lo 1 dividindo a segunda linha por 2 & 3 & 1 0 & 1 & 1 0 & -10 & 1 :
Aplicando a operação:

Passo 24

Com o segundo pivô igual a 1, vamos zerar o elemento abaixo dele na coluna 2, ou seja, L3 = L3 + 10L2 .
Fazemos isso adicionando 10 vezes a segunda linha à terceira linha:
2 & 3 & 1 0 & 1 & 1 0 + 10(0) & -10 + 10(1) & 1 + 10(1) = 2 & 3 & 1 0 & 1 & 1 0 & 0 & 11

Aplicando a operação:
$$

$$

Passo 25

Finalmente, normalizamos o terceiro pivô, que está na posição L3 = 111 L3 . Dividimos a terceira linha por 11:
2 & 3 & 1 0 & 1 & 1 0 & 0 & 1
Aplicando a operação:

Passo 26

A matriz está agora em LRFE. A matriz B = 2 & 3 & 1 0 & 1 & 1 0 & 0 & 1 equivalente é:
Para determinar as matrizes elementares , representamos cada operação realizada:

Passo 27

As matrizes elementares são:
E1 = 1 & 0 & 0 -1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 , E2 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 -1 & 0 & 1 ,
E3 = 1 & 0 & 0 0 & -12 & 0 0 & 0 & 1 , E4 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 10 & 1 ,
E5 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 111
Essas matrizes, multiplicadas na ordem , transformam a matriz na matriz .

Resposta

A matriz LRFE equivalente é:
B = 2 & 3 & 1 0 & 1 & 1 0 & 0 & 1
As matrizes elementares que satisfazem E1 = 1 & 0 & 0 -1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 , E2 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 -1 & 0 & 1 , são:
E3 = 1 & 0 & 0 0 & -12 & 0 0 & 0 & 1 , E4 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 10 & 1 ,
E5 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 111
Essas matrizes realizam as operações necessárias para transformar na matriz em sua forma reduzida por escalonamento de linha.

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(b) Resolva o sistema usando o método das matrizes elementares.