Resolva o sistema linear abaixo utilizando o método de Eliminação de Gauss.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o Método de Eliminação de Gauss, que é uma técnica para resolver sistemas lineares transformando as equações em uma forma mais simples. Precisamos das quatro equações dadas e vamos manipular elas para encontrar os valores de , , e .
As equações são:

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de matriz aumentada. Isso facilita as operações de linha que vamos fazer.

Passo 3

Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma triangular superior, onde abaixo da diagonal principal (de cima para baixo) só tenha zeros. Vamos começar eliminando o das linhas abaixo da primeira.
  1. Linha 2: Subtrair da Linha 1 multiplicada por 1:
  1. Linha 3: Subtrair da Linha 1 multiplicada por 3:
  1. Linha 4: Subtrair da Linha 1 multiplicada por 2:
Após essas operações, a matriz fica assim:

Passo 4

Agora, vamos eliminar o das linhas abaixo da segunda.
  1. Linha 3: Dividir a Linha 2 por -2 para facilitar:
  1. Linha 3: Subtrair a nova Linha 2 multiplicada por -1 das Linha 3:
  1. Linha 4: Subtrair a nova Linha 2 multiplicada por -1 das Linha 4:
A matriz agora é:

Passo 5

Vamos eliminar o da última linha.
  1. Linha 4: Subtrair a Linha 3:
A matriz fica:

Passo 6

Agora, vamos resolver de baixo para cima:
  1. Linha 4: Resolver para :
  1. Linha 3: Substituir na equação para encontrar :
  1. Linha 2: Substituir e para encontrar :
  1. Linha 1: Substituir , e para encontrar :

Resposta

As soluções para o sistema são:

Exercícios relacionados

Sejam as matrizes . Calcule:
b)
Dada a matriz calcular
a)