Resolva o sistema linear abaixo utilizando o método de Eliminação de Gauss.
l2 x+2 y+3 z+w=7 x-y+2 z-w=1 3 x+2 y-3 z-2 w=4 4 x+3 y+2 z+w=12

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o Método de Eliminação de Gauss, que é uma técnica para resolver sistemas lineares transformando as equações em uma forma mais simples. Precisamos das quatro equações dadas e vamos manipular elas para encontrar os valores de 2x + 2y + 3z + w = 7 x - y + 2z - w = 1 3x + 2y - 3z - 2w = 4 4x + 3y + 2z + w = 12 , , e .
As equações são:

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de matriz aumentada. Isso facilita as operações de linha que vamos fazer.
2 & 2 & 3 & 1 & | & 7 1 & -1 & 2 & -1 & | & 1 3 & 2 & -3 & -2 & | & 4 4 & 3 & 2 & 1 & | & 12

Passo 3

Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma triangular superior, onde abaixo da diagonal principal (de cima para baixo) só tenha zeros. Vamos começar eliminando o L2 = L2 - 12L1 das linhas abaixo da primeira.
  1. Linha 2: Subtrair L3 = L3 - 32L1 da Linha 1 multiplicada por 1:
L4 = L4 - 2L1
  1. Linha 3: Subtrair 2 & 2 & 3 & 1 & | & 7 0 & -2 & 0.5 & -1.5 & | & -2.5 0 & -1 & -4.5 & -3.5 & | & -6.5 0 & -1 & -4 & -1 & | & -2 da Linha 1 multiplicada por 3:
  1. Linha 4: Subtrair da Linha 1 multiplicada por 2:
Após essas operações, a matriz fica assim:

Passo 4

Agora, vamos eliminar o L2 = L2-2 das linhas abaixo da segunda.
  1. Linha 3: Dividir a Linha 2 por -2 para facilitar:
L3 = L3 - (-1)L2
  1. Linha 3: Subtrair a nova Linha 2 multiplicada por -1 das Linha 3:
L4 = L4 - (-1)L2
  1. Linha 4: Subtrair a nova Linha 2 multiplicada por -1 das Linha 4:
2 & 2 & 3 & 1 & | & 7 0 & 1 & -0.25 & 0.75 & | & 1.25 0 & 0 & -4.25 & -2.75 & | & -5.25 0 & 0 & -4.25 & 0.75 & | & -1.25
A matriz agora é:

Passo 5

Vamos eliminar o L4 = L4 - L3 da última linha.
  1. Linha 4: Subtrair a Linha 3:
2 & 2 & 3 & 1 & | & 7 0 & 1 & -0.25 & 0.75 & | & 1.25 0 & 0 & -4.25 & -2.75 & | & -5.25 0 & 0 & 0 & 3.5 & | & 4
A matriz fica:

Passo 6

Agora, vamos resolver de baixo para cima:
  1. Linha 4: Resolver para 3.5w = 4 implies w = 43.5 = 87 approx 1.14 :
-4.25z - 2.75 times 1.14 = -5.25 -4.25z - 3.135 = -5.25 -4.25z = -2.115 z = -2.115-4.25 approx 0.5
  1. Linha 3: Substituir y - 0.25 times 0.5 + 0.75 times 1.14 = 1.25 y - 0.125 + 0.855 = 1.25 y + 0.73 = 1.25 y = 1.25 - 0.73 y = 0.52 na equação para encontrar 2x + 2 times 0.52 + 3 times 0.5 + 1.14 = 7 2x + 1.04 + 1.5 + 1.14 = 7 2x + 3.68 = 7 2x = 7 - 3.68 2x = 3.32 x = 3.322 x = 1.66 :
  1. Linha 2: Substituir e para encontrar :
  1. Linha 1: Substituir , e para encontrar :

Resposta

As soluções para o sistema são:
x approx 1.66, y approx 0.52, z approx 0.5, w approx 1.14

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