Encontrar a matriz de mudança de base B=(1,2,3),(1,4,9),(1,8,27) para a base c do R^3.

Passo 1

Então, a gente tem um problema onde precisamos encontrar a matriz de mudança de base de uma base para a base padrão no espaço . Isso está dentro do conteúdo de álgebra linear, mais especificamente sobre mudança de base e matrizes de transformação. Vamos precisar entender como representar os vetores de uma base em termos da outra e usar isso para construir a matriz de mudança.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz de mudança de base. Ela serve para converter coordenadas de um vetor de uma base para outra. No nosso caso, queremos converter da base para a base padrão . Isso significa que, dado um vetor com coordenadas na base , a matriz de mudança vai nos dar as coordenadas desse vetor na base .

Passo 3

Para construir a matriz de mudança de base, precisamos organizar os vetores da base MB = 1 & 1 & 1 2 & 4 & 8 3 & 9 & 27 como colunas em uma matriz. Então, vamos montar a seguinte matriz :

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a matriz de mudan��a de base de para . Como a base é a base padrão, a matriz de mudança será simplesmente a inversa de , ou seja, .

Passo 5

Vamos calcular a inversa de det(MB) = 1 times (4 times 27 - 8 times 9) - 1 times (2 times 27 - 8 times 3) + 1 times (2 times 9 - 4 times 3) . Primeiro, calculamos o determinante de det(MB) = 1 times (108 - 72) - 1 times (54 - 24) + 1 times (18 - 12) :
det(MB) = 36 - 30 + 6 = 12

Passo 6

Como o determinante é diferente de zero ( MB^-1 = 112 -6 & 6 & -0 12 & -12 & 0 -6 & 6 & 0 ), a matriz MB^-1 = -0.5 & 0.5 & 0 1 & -1 & 0 -0.5 & 0.5 & 0 é invertível. Agora, calculamos a matriz adjunta de e, em seguida, dividimos por para encontrar .
Após os cálculos, obtemos:

Resposta

A matriz de mudança de base de -0.5 & 0.5 & 0 1 & -1 & 0 -0.5 & 0.5 & 0 para a base é:

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