Encontrar a matriz de mudança de base para a base do .

Passo 1

Então, a gente tem um problema onde precisamos encontrar a matriz de mudança de base de uma base para a base padrão no espaço . Isso está dentro do conteúdo de álgebra linear, mais especificamente sobre mudança de base e matrizes de transformação. Vamos precisar entender como representar os vetores de uma base em termos da outra e usar isso para construir a matriz de mudança.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz de mudança de base. Ela serve para converter coordenadas de um vetor de uma base para outra. No nosso caso, queremos converter da base para a base padrão . Isso significa que, dado um vetor com coordenadas na base , a matriz de mudança vai nos dar as coordenadas desse vetor na base .

Passo 3

Para construir a matriz de mudança de base, precisamos organizar os vetores da base como colunas em uma matriz. Então, vamos montar a seguinte matriz :

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a matriz de mudan��a de base de para . Como a base é a base padrão, a matriz de mudança será simplesmente a inversa de , ou seja, .

Passo 5

Vamos calcular a inversa de . Primeiro, calculamos o determinante de :

Passo 6

Como o determinante é diferente de zero ( ), a matriz é invertível. Agora, calculamos a matriz adjunta de e, em seguida, dividimos por para encontrar .
Após os cálculos, obtemos:

Resposta

A matriz de mudança de base de para a base é:

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