(b) Mostre que se
e os vetores
geram
então os vetores
geram
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que
e que os vetores transformados
geram
. Nosso objetivo é mostrar que os vetores originais
também geram
. Para isso, vamos usar conceitos de transformações lineares e geração de espaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa que os vetores
geram
. Isso quer dizer que qualquer vetor
pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores transformados. Matematicamente, isso é:
onde
são escalares.
Passo 3
Como
e
é uma transformação de
para
, podemos pensar
como uma transformação endomórfica em
. Se os vetores
geram
, isso implica que
é sobrejetora (ou seja, cobre todo o espaço
). Em espaços finitamente dimensionais, uma transformação linear sobrejetora também é injetora, o que significa que
é invertível.
Passo 4
Como
é invertível, existe uma transformação inversa
tal que:
Vamos aplicar
em ambos os lados da equação do Passo 2:
Passo 5
Usando a propriedade da linearidade de
, podemos distribuir a transformação inversa sobre a soma e os escalares:
Passo 6
Sabemos que
para cada
, pois
é a inversa de
. Assim, a equação fica:
Passo 7
Agora, queremos expressar
em termos dos vetores
. Para isso, aplicamos
em ambos os lados da equação:
Como
e
são inversas, isso simplifica para:
O que já sabemos que é verdade pela condição inicial.
Passo 8
Mas voltando à equação do Passo 6:
Isso mostra que qualquer vetor
pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores
. Como
é invertível,
mapeia todo
de volta para
, então realmente qualquer vetor em
pode ser gerado por
.
Resposta
Portanto, demonstramos que se
e os vetores
geram
, então os vetores
também geram
.