(b) Mostre que se e os vetores geram então os vetores geram .
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que e que os vetores transformados geram . Nosso objetivo é mostrar que os vetores originais também geram . Para isso, vamos usar conceitos de transformações lineares e geração de espaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa que os vetores geram . Isso quer dizer que qualquer vetor pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores transformados. Matematicamente, isso é:
onde são escalares.
Passo 3
Como e é uma transformação de para , podemos pensar como uma transformação endomórfica em . Se os vetores geram , isso implica que é sobrejetora (ou seja, cobre todo o espaço ). Em espaços finitamente dimensionais, uma transformação linear sobrejetora também é injetora, o que significa que é invertível.
Passo 4
Como é invertível, existe uma transformação inversa tal que:
Vamos aplicar em ambos os lados da equação do Passo 2:
Passo 5
Usando a propriedade da linearidade de , podemos distribuir a transformação inversa sobre a soma e os escalares:
Passo 6
Sabemos que para cada , pois é a inversa de . Assim, a equação fica:
Passo 7
Agora, queremos expressar em termos dos vetores . Para isso, aplicamos em ambos os lados da equação:
Como e são inversas, isso simplifica para:
O que já sabemos que é verdade pela condição inicial.
Passo 8
Mas voltando à equação do Passo 6:
Isso mostra que qualquer vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores . Como é invertível, mapeia todo de volta para , então realmente qualquer vetor em pode ser gerado por .
Resposta
Portanto, demonstramos que se e os vetores geram , então os vetores também geram .