(b) Mostre que se V=W e os vetores T(v1), ldots, T(vn) geram V então os vetores v1, ldots, vn in V geram V.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que e que os vetores transformados geram . Nosso objetivo é mostrar que os vetores originais também geram . Para isso, vamos usar conceitos de transformações lineares e geração de espaços vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa que os vetores v = a1T(v1) + a2T(v2) + cdots + anT(vn) geram . Isso quer dizer que qualquer vetor pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores transformados. Matematicamente, isso é:
onde são escalares.

Passo 3

Como e é uma transformação de para , podemos pensar como uma transformação endomórfica em . Se os vetores geram , isso implica que é sobrejetora (ou seja, cobre todo o espaço ). Em espaços finitamente dimensionais, uma transformação linear sobrejetora também é injetora, o que significa que é invertível.

Passo 4

Como T^-1(T(v)) = v para todo v in V é invertível, existe uma transformação inversa T^-1(v) = T^-1(a1T(v1) + a2T(v2) + cdots + anT(vn)) tal que:
Vamos aplicar em ambos os lados da equação do Passo 2:

Passo 5

Usando a propriedade da linearidade de T^-1(v) = a1T^-1(T(v1)) + a2T^-1(T(v2)) + cdots + anT^-1(T(vn)) , podemos distribuir a transformação inversa sobre a soma e os escalares:

Passo 6

Sabemos que T^-1(v) = a1v1 + a2v2 + cdots + anvn para cada , pois é a inversa de . Assim, a equação fica:

Passo 7

Agora, queremos expressar T(T^-1(v)) = T(a1v1 + a2v2 + cdots + anvn) em termos dos vetores v = a1T(v1) + a2T(v2) + cdots + anT(vn) . Para isso, aplicamos em ambos os lados da equação:
Como e são inversas, isso simplifica para:
O que já sabemos que é verdade pela condição inicial.

Passo 8

Mas voltando à equação do Passo 6:
T^-1(v) = a1v1 + a2v2 + cdots + anvn
Isso mostra que qualquer vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores . Como é invertível, mapeia todo de volta para , então realmente qualquer vetor em pode ser gerado por .

Resposta

Portanto, demonstramos que se e os vetores geram , então os vetores também geram .

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