Verifique se as funções abaixo são transformações lineares:
T: R^3 R^2 definida por T(x, y, z)=(x+2 y-3 z, 4 x-5 y+6 z);

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se a função definida por é uma transformação linear. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente as propriedades que definem uma transformação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma função entre espaços vetoriais é linear se satisfaz duas propriedades:
  1. Adição de vetores:
  2. Multiplicação por escalar:
Vamos verificar essas duas propriedades para a função dada.

Passo 3

Vamos verificar a propriedade da adição. Seja T(u + v) = T(x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) = ((x1 + x2) + 2(y1 + y2) - 3(z1 + z2), 4(x1 + x2) - 5(y1 + y2) + 6(z1 + z2)) e = (x1 + 2y1 - 3z1 + x2 + 2y2 - 3z2, 4x1 - 5y1 + 6z1 + 4x2 - 5y2 + 6z2) . Então:
T(u) + T(v) = (x1 + 2y1 - 3z1, 4x1 - 5y1 + 6z1) + (x2 + 2y2 - 3z2, 4x2 - 5y2 + 6z2)
Simplificando:
= (x1 + 2y1 - 3z1 + x2 + 2y2 - 3z2, 4x1 - 5y1 + 6z1 + 4x2 - 5y2 + 6z2)
Por outro lado:
Como os dois resultados são iguais, a propriedade da adição é satisfeita.

Passo 4

Agora vamos verificar a propriedade da multiplicação por escalar. Seja T(cu) = T(cx, cy, cz) = (cx + 2(cy) - 3(cz), 4(cx) - 5(cy) + 6(cz)) um escalar e = (c(x + 2y - 3z), c(4x - 5y + 6z)) = c(x + 2y - 3z, 4x - 5y + 6z) = cT(u) . Então:
Simplificando:
Portanto, a propriedade da multiplicação por escalar também é satisfeita.

Resposta

Sim, a função é uma transformação linear, pois satisfaz as propriedades de adição de vetores e multiplicação por escalar.

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