Mostre que se é uma base de e é uma base de , então é uma base de .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos pede para mostrar que, se é a soma direta de dois subespaços e , e se é uma base de e é uma base de , então a união dessas bases, , também forma uma base de . Vamos precisar entender conceitos de soma direta, bases de subespaços, geração de vetores e independência linear.
Passo 2
Primeiro, para mostrar que é uma base de , precisamos verificar duas coisas: que gera (spans) e que os vetores em são linearmente independentes.
Passo 3
Vamos começar mostrando que gera . Como , todo vetor pode ser escrito de forma única como , onde e . Como é base de , qualquer pode ser expresso como combinação linear dos . Da mesma forma, é base de , então qualquer é uma combinação linear dos . Portanto, qualquer pode ser escrito como combinação linear dos vetores em , ou seja, gera .
Passo 4
Agora, vamos verificar a independência linear dos vetores em . Suponha que existam escalares tais que:
Como , a única maneira de uma soma de elementos de e ser zero é se cada parte for zero separadamente. Ou seja:
Como é uma base de e os são lineares independentes, isso implica que todos os . Da mesma forma, como é uma base de e os são linearmente independentes, todos os . Portanto, a única solução para a combinação linear ser zero é que todos os coeficientes sejam zero, o que significa que é linearmente independente.
Resposta
Como gera e é linearmente independente, concluímos que é uma base de .