Resolva os sistemas abaixo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações que envolve derivadas. O enunciado nos apresenta duas equações onde
representa a derivada em relação a
. Nosso objetivo aqui é encontrar as funções
e
que satisfazem esse sistema. Para isso, vamos precisar usar métodos de resolução de sistemas lineares e aplicar conhecimentos de cálculo diferencial.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever o sistema para deixar mais claro:
Aqui,
atua como operador de derivada, ou seja,
e
.
Passo 3
Vamos expandir as equações aplicando o operador
:
- Primeira equação:
- Segunda equação:
Agora nosso sistema fica:
Passo 4
Para resolver esse sistema, vamos tratar
e
como incógnitas temporárias. Podemos reescrever o sistema da seguinte maneira:
Isso nos permite utilizar métodos de álgebra linear para resolver para
e
.
Passo 5
Vamos montar a matriz dos coeficientes e o vetor dos termos constantes:
[
]
Para resolver esse sistema, usamos a regra de Cramer ou a inversa da matriz dos coeficientes.
Passo 6
Calculando o determinante da matriz dos coeficientes:
Como o determinante é diferente de zero, a matriz é invertível e podemos encontrar
e
.
Passo 7
Agora, encontramos as expressões para
e
:
Simplificando:
Passo 8
Agora, temos expressões para
e
em termos de
e
. Para resolver completamente, precisamos de equações diferenciais para
e
. Isso geralmente envolve substituir essas expressões de volta nas equações originais e resolver o sistema resultante.
Porém, sem informações adicionais ou condições iniciais, podemos expressar
e
dessas maneiras, mas a solução completa exigiria métodos avançados de resolução de sistemas de equações diferenciais lineares.
Resposta
A solução do sistema leva a expressões para
e
em termos de
e
, conforme mostrado acima. Para obter soluções completas para
e
, seria necessário resolver o sistema de equações diferenciais resultante utilizando técnicas apropriadas de cálculo.