c) Encontra as raízes do polinômio

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede pra gente encontrar as raízes do polinômio no conjunto dos polinômios sobre os inteiros modulo 7, que é . Isso significa que estamos trabalhando com números de 0 a 6 e todas as operações são feitas “dentro” desse intervalo. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar os expoentes grandes usando propriedades de e depois testar possíveis valores de para ver quais anulam o polinômio.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar os coeficientes do polinômio modulo 7. Isso significa dividir cada coeficiente por 7 e considerar apenas o resto:
  • já está entre 0 e 6.
  • também está ok.
  • : Vamos dividir 8713 por 7. com resto 5, então .
  • O termo constante já está certo.
Então, o polinômio simplificado fica:

Passo 3

Agora, vamos simplificar os expoentes grandes. Em , pelo pequeno teorema de Fermat, sabemos que para que não seja múltiplo de 7. Isso nos ajuda a reduzir os expoentes grandes.
Vamos calcular o resto da divisão dos expoentes por 6:
  • com resto 0, então .
  • com resto 5, então .
  • com resto 3, então .
  • com resto 1, então .
Substituindo de volta no polinômio, temos:
Simplificando:

Passo 4

Vamos combinar os termos constantes:
Então, o polinômio fica:

Passo 5

Agora, precisamos encontrar os valores de em (ou seja, ) que fazem .
Vamos testar cada valor:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
    Calculando cada termo:
    Então:
    Simplificando:
    Então, é uma raiz.
  • Para :
    Calculando módulo 7:
    Então:
    Simplificando:
  • Para :
    Calculando módulo 7:
    Então:
    Simplificando:
  • Para :
    Calculando módulo 7:
    Então:
    Simplificando:
  • Para :
    Calculando módulo 7:
    Então:
    Simplificando:

Resposta

A única raiz do polinômio no conjunto é .

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.
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