Beleza, vamos lá! O problema pede pra gente encontrar as raízes do polinômio no conjunto dos polinômios sobre os inteiros modulo 7, que é . Isso significa que estamos trabalhando com números de 0 a 6 e todas as operações são feitas “dentro” desse intervalo. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar os expoentes grandes usando propriedades de e depois testar possíveis valores de para ver quais anulam o polinômio.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar os coeficientes do polinômio modulo 7. Isso significa dividir cada coeficiente por 7 e considerar apenas o resto:
já está entre 0 e 6.
também está ok.
: Vamos dividir 8713 por 7. com resto 5, então .
O termo constante já está certo.
Então, o polinômio simplificado fica:
Passo 3
Agora, vamos simplificar os expoentes grandes. Em , pelo pequeno teorema de Fermat, sabemos que para que não seja múltiplo de 7. Isso nos ajuda a reduzir os expoentes grandes.
Vamos calcular o resto da divisão dos expoentes por 6:
com resto 0, então .
com resto 5, então .
com resto 3, então .
com resto 1, então .
Substituindo de volta no polinômio, temos:
Simplificando:
Passo 4
Vamos combinar os termos constantes:
Então, o polinômio fica:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar os valores de em (ou seja, ) que fazem .