Use a regra da cadeia para achar d z / d t e d w / d t.
z = x^2 * y + x * y^2, x = 3 * t, y = t^2.

Passo 1

Vamos entender o enunciado: precisamos usar a regra da cadeia para encontrar e . Temos que , onde e . Para resolver isso, vamos aplicar a regra da cadeia da derivação, que nos ajuda a calcular derivadas de funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos focar em encontrar . A função z depende de x e y, que por sua vez dependem de t. Portanto, usaremos a regra da cadeia para derivar z em relação a t.

Passo 3

A regra da cadeia para funções de várias variáveis nos diz que:
Aqui, e são as derivadas parciais de z em relação a x e y, respectivamente, e e são as derivadas de x e y em relação a t.

Passo 4

Vamos calcular cada uma dessas derivadas:
  1. Derivadas Parciais de z:
  2. Derivadas de x e y em relação a t:

Passo 5

Agora, substituímos essas derivadas na fórmula da regra da cadeia:

Passo 6

Substituímos e na equação acima:
Simplificando:

Passo 7

Calculando as multiplicações:

Passo 8

Somando os termos semelhantes:

Resposta

A derivada de z em relação a t é:

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