Vamos resolver o sistema de equações diferenciais dado:
Nesse problema, vamos trabalhar com equações diferenciais lineares de primeira ordem. Precisaremos usar métodos de resolução para sistemas lineares, como a substituição ou a combinação das equações para encontrar soluções para as funções e .
Passo 2
Vamos denominar as equações para facilitar a referência:
Onde e .
Passo 3
Primeiro, vamos resolver a equação (2) para :
Passo 4
Agora, substituímos encontrado na equação (1):
Passo 5
Agora temos:
Agora, vamos substituir da equação (3) na equação (2):
Passo 6
Obtemos uma equação diferencial de segunda ordem para :
Dividindo todos os termos por -1 para simplificar:
Passo 7
Vamos resolver a equação característica associada:
Calculando o discriminante:
Então, as raízes são:
Passo 8
Portanto, a solução geral para é:
Onde e são constantes de integração.
Passo 9
Agora, usando a equação (3):
Calculamos :
Substituindo na expressão para :
Passo 10
Simplificando:
Calculando os coeficientes:
Passo 11
Então, a solução geral para é:
Resposta
As soluções gerais do sistema são:
Onde e são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.