Resolva os sistemas abaixo

Passo 1

Vamos resolver o sistema de equações diferenciais dado:
Nesse problema, vamos trabalhar com equações diferenciais lineares de primeira ordem. Precisaremos usar métodos de resolução para sistemas lineares, como a substituição ou a combinação das equações para encontrar soluções para as funções e .

Passo 2

Vamos denominar as equações para facilitar a referência:
Onde e .

Passo 3

Primeiro, vamos resolver a equação (2) para :

Passo 4

Agora, substituímos encontrado na equação (1):

Passo 5

Agora temos:
Agora, vamos substituir da equação (3) na equação (2):

Passo 6

Obtemos uma equação diferencial de segunda ordem para :
Dividindo todos os termos por -1 para simplificar:

Passo 7

Vamos resolver a equação característica associada:
Calculando o discriminante:
Então, as raízes são:

Passo 8

Portanto, a solução geral para é:
Onde e são constantes de integração.

Passo 9

Agora, usando a equação (3):
Calculamos :
Substituindo na expressão para :

Passo 10

Simplificando:
Calculando os coeficientes:

Passo 11

Então, a solução geral para é:

Resposta

As soluções gerais do sistema são:
Onde e são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

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