Utilize o algoritmo de Briot-Ruffini para decrever como um produto de fatores lineares e ou quadráticos em ] a)

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos fatorar o polinômio em fatores lineares e/ou quadráticos usando o algoritmo de Briot-Ruffini. Para isso, vamos precisar encontrar as raízes do polinômio, ou seja, os valores de que fazem . O algoritmo de Briot-Ruffini nos ajuda a dividir o polinômio por um binômio da forma , onde é uma raiz.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar encontrar as possíveis raízes racionais do polinômio usando o Teorema das Raízes Racionais. Segundo esse teorema, as possíveis raízes racionais são os fatores do termo constante divididos pelos fatores do coeficiente líder. Aqui, o termo constante é 2 e o coeficiente líder é 1. Portanto, as possíveis raízes racionais são e .

Passo 3

Vamos testar substituindo na equação do polinômio:
Como , é uma raiz do polinômio. Isso significa que é um fator de .

Passo 4

Agora, vamos usar o algoritmo de Briot-Ruffini para dividir por . Colocamos os coeficientes do polinômio em uma linha: 1, 2, -2, -3, 2.
O resultado da divisão é .

Passo 5

Agora temos . Precisamos fatorar o polinômio cúbico . Novamente, vamos procurar possíveis raízes racionais. As possíveis raízes são e .

Passo 6

Vamos testar novamente:
Não é raiz. Vamos testar :
Não é raiz. Vamos testar :
Não é raiz. Por fim, vamos testar :
Como , é uma raiz. Portanto, é um fator.

Passo 7

Usando Briot-Ruffini novamente, dividimos por . Colocamos os coeficientes: 1, 3, 1, -2.
O resultado é .

Passo 8

Agora, temos . O polinômio quadrático pode ser fatorado ou deixado assim, dependendo de suas raízes. Vamos verificar se ele pode ser fatorado com coeficientes reais. Calculamos o discriminante :
Como , o polinômio tem duas raízes reais e pode ser fatorado.

Passo 9

As raízes do polinômio quadrático são:
Portanto, podemos escrever .

Resposta

A fatoração do polinômio é:

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