Utilize o algoritmo de Briot-Ruffini para decrever
como um produto de fatores lineares e ou quadráticos em
] a)
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos fatorar o polinômio
em fatores lineares e/ou quadráticos usando o algoritmo de Briot-Ruffini. Para isso, vamos precisar encontrar as raízes do polinômio, ou seja, os valores de
que fazem
. O algoritmo de Briot-Ruffini nos ajuda a dividir o polinômio por um binômio da forma
, onde
é uma raiz.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar encontrar as possíveis raízes racionais do polinômio usando o Teorema das Raízes Racionais. Segundo esse teorema, as possíveis raízes racionais são os fatores do termo constante divididos pelos fatores do coeficiente líder. Aqui, o termo constante é 2 e o coeficiente líder é 1. Portanto, as possíveis raízes racionais são
e
.
Passo 3
Vamos testar
substituindo na equação do polinômio:
Como
,
é uma raiz do polinômio. Isso significa que
é um fator de
.
Passo 4
Agora, vamos usar o algoritmo de Briot-Ruffini para dividir
por
. Colocamos os coeficientes do polinômio em uma linha: 1, 2, -2, -3, 2.
O resultado da divisão é
.
Passo 5
Agora temos
. Precisamos fatorar o polinômio cúbico
. Novamente, vamos procurar possíveis raízes racionais. As possíveis raízes são
e
.
Passo 6
Vamos testar
novamente:
Não é raiz. Vamos testar
:
Não é raiz. Vamos testar
:
Não é raiz. Por fim, vamos testar
:
Como
,
é uma raiz. Portanto,
é um fator.
Passo 7
Usando Briot-Ruffini novamente, dividimos
por
. Colocamos os coeficientes: 1, 3, 1, -2.
O resultado é
.
Passo 8
Agora, temos
. O polinômio quadrático
pode ser fatorado ou deixado assim, dependendo de suas raízes. Vamos verificar se ele pode ser fatorado com coeficientes reais. Calculamos o discriminante
:
Como
, o polinômio tem duas raízes reais e pode ser fatorado.
Passo 9
As raízes do polinômio quadrático são:
Portanto, podemos escrever
.
Resposta
A fatoração do polinômio é: