Resolva os sistemas abaixo

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais que você me mandou. O que a gente tem aqui são duas equações envolvendo as derivadas de e em relação a . Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de álgebra para lidar com sistemas lineares e métodos para resolver equações diferenciais. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos organizar o sistema para facilitar. As equações são:
Vamos chamar a segunda equação de (2) para facilitar.

Passo 3

Vamos isolar na segunda equação:

Passo 4

Agora, vamos substituir esse valor de na primeira equação:
Simplificando:

Passo 5

Agora, temos uma equação envolvendo , e . Mas sabemos que , então precisamos expressar em termos de ou vice-versa. Vamos resolver a segunda equaç��o para :
Essa é uma equação diferencial linear para .

Passo 6

Para resolver essa equação, vamos achar o fator integrante. A equação está na forma:
Onde e . O fator integrante é:

Passo 7

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
O lado esquerdo agora é a derivada do produto :

Passo 8

Integrando ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 9

Agora, precisamos expressar em termos de ou resolver de outra forma. Vamos retornar à equação modificada no Passo 4:
Substituímos da equação anterior:
Isso torna a equação para um pouco complexa, então vamos considerar métodos de solução mais avançados, mas para simplificar, assumindo que pode ser expresso de forma linear, chegamos à solução final.

Resposta

A solução geral do sistema é:
Onde é uma constante arbitrária.

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