Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se a função resolve um problema da equação de calor dado, desde que a função resolva outro problema parecido. Aqui, estamos lidando com equações diferenciais parciais (PDEs), especificamente a equação de calor. Pra resolver isso, vamos precisar entender como transformar soluções de PDEs e como as condições de contorno e iniciais se comportam nessa transformação.
Passo 2
Primeiro, vamos definir a função de forma que simplifique nosso trabalho. Observando as condições de contorno, notamos que e . Vamos escolher como uma função linear que já satisfaz essas condições:
Essa função não depende de porque queremos que ela só ajuste as condições de contorno de .
Passo 3
Agora, substituímos por na equação de calor original:
Como não depende de , temos . Então,
Mas é linear, então sua segunda derivada é zero:
Portanto, a equação para fica:
Ou seja, também satisfaz a equação de calor!
Passo 4
Vamos verificar as condições de contorno e iniciais para :
Condições de contorno:
Então, tem condições de contorno nulas.
Condições iniciais:
Ou seja, a condição inicial de é ajustada pela função .
Resposta
Então, mostramos que se resolve a equação de calor com as condições dadas, então também resolve a equação de calor, mas com condições de contorno nulas e uma condição inicial ajustada. Assim, é solução do primeiro problema se e somente se é solução do segundo problema.