l ut=ux x, forall(x, t) in(0, L) times(0,+infty) u(0, t)=A, para t>0 u(L, t)=B, para t>0 u(x, 0)=f(x)-((B-A)L x+A) para x in(0, L)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se a função resolve um problema da equação de calor dado, desde que a função resolva outro problema parecido. Aqui, estamos lidando com equações diferenciais parciais (PDEs), especificamente a equação de calor. Pra resolver isso, vamos precisar entender como transformar soluções de PDEs e como as condições de contorno e iniciais se comportam nessa transformação.
Passo 2
Primeiro, vamos definir a função v(x) = B - ALx + A de forma que simplifique nosso trabalho. Observando as condições de contorno, notamos que e . Vamos escolher como uma função linear que já satisfaz essas condições:
Essa função não depende de porque queremos que ela só ajuste as condições de contorno de .
Passo 3
Agora, substituímos ut = uxx por (w + v)t = (w + v)xx wt = wxx + vxx na equação de calor original:
vxx = 0
Como wt = wxx não depende de , temos . Então,
Mas é linear, então sua segunda derivada é zero:
Portanto, a equação para fica:
Ou seja, também satisfaz a equação de calor!
Passo 4
Vamos verificar as condições de contorno e iniciais para w(0, t) = u(0, t) - v(0) = A - A = 0 w(L, t) = u(L, t) - v(L) = B - B = 0 :
Condições de contorno:
w(x, 0) = u(x, 0) - v(x) = f(x) - ( B - ALx + A )
Então, tem condições de contorno nulas.
Condições iniciais:
Ou seja, a condição inicial de é ajustada pela função .
Resposta
Então, mostramos que se resolve a equação de calor com as condições dadas, então também resolve a equação de calor, mas com condições de contorno nulas e uma condição inicial ajustada. Assim, é solução do primeiro problema se e somente se é solução do segundo problema.