Determine uma solução do tipo para o Problema de Contorno
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar uma solução do tipo ut = uxx para o problema de contorno dado. Isso envolve equações diferenciais parciais, especificamente a equação do calor:
u(0, t) = A e u(L, t) = B
Além disso, temos as condições de contorno:
Para resolver isso, vamos procurar uma solução que depende apenas de , ou seja, que seja estacionária.
Passo 2
A primeira coisa que fizemos é assumir que a solução não depende do tempo, então 0 = uxx . Isso simplifica a equação do calor para:
Agora, temos uma equação diferencial ordinária de segunda ordem.
Passo 3
Resolvendo u(x) = Cx + D , sabemos que a solução geral é uma função linear:
Aqui, e são constantes que vamos determinar usando as condições de contorno.
Passo 4
Aplicamos a primeira condição de contorno A = C cdot 0 + D implies D = A :
Agora, sabemos que .
Passo 5
Aplicamos a segunda condição de contorno B = C cdot L + A :
C = B - AL
Resolvendo para :
Então, a constante depende da diferença entre e dividida pelo comprimento .
Passo 6
Substituímos u(x) = B - ALx + A e u(x) = A + B - ALx de volta na solução geral:
Isso simplifica para:
Resposta
A solução do tipo u(x) = A + B - ALx para o problema de contorno é: