Determine uma solução do tipo para o Problema de Contorno
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar uma solução do tipo para o problema de contorno dado. Isso envolve equações diferenciais parciais, especificamente a equação do calor:
Além disso, temos as condições de contorno:
Para resolver isso, vamos procurar uma solução que depende apenas de , ou seja, que seja estacionária.
Passo 2
A primeira coisa que fizemos é assumir que a solução não depende do tempo, então . Isso simplifica a equação do calor para:
Agora, temos uma equação diferencial ordinária de segunda ordem.
Passo 3
Resolvendo , sabemos que a solução geral é uma função linear:
Aqui, e são constantes que vamos determinar usando as condições de contorno.
Passo 4
Aplicamos a primeira condição de contorno :
Agora, sabemos que .
Passo 5
Aplicamos a segunda condição de contorno :
Resolvendo para :
Então, a constante depende da diferença entre e dividida pelo comprimento .