Determine uma solução do tipo para o Problema de Contorno

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar uma solução do tipo para o problema de contorno dado. Isso envolve equações diferenciais parciais, especificamente a equação do calor:
Além disso, temos as condições de contorno:
Para resolver isso, vamos procurar uma solução que depende apenas de , ou seja, que seja estacionária.

Passo 2

A primeira coisa que fizemos é assumir que a solução não depende do tempo, então . Isso simplifica a equação do calor para:
Agora, temos uma equação diferencial ordinária de segunda ordem.

Passo 3

Resolvendo , sabemos que a solução geral é uma função linear:
Aqui, e são constantes que vamos determinar usando as condições de contorno.

Passo 4

Aplicamos a primeira condição de contorno :
Agora, sabemos que .

Passo 5

Aplicamos a segunda condição de contorno :
Resolvendo para :
Então, a constante depende da diferença entre e dividida pelo comprimento .

Passo 6

Substituímos e de volta na solução geral:
Isso simplifica para:

Resposta

A solução do tipo para o problema de contorno é:

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