Sabendo que , calcule os seguintes determinantes:
a) |llld & e & f g & h & i a & b & c|
b) |ccc3 a & 3 b & 3 c -d & -e & -f 4 g & 4 h & 4 i|
c) |ccca+g & b+h & c+i d & e & f g & h & i|
d) |ccc-3 a & -3 b & -3 c d & e & f g-4 d & h-4 e & i-4 f|
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de determinantes juntos! A questão nos dá o determinante de uma matriz 3x3 e pede para calcular novos determinantes baseados nessa matriz. Vamos precisar entender como operações com linhas afetam o determinante e aplicar essas regras para cada item.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o item a):
|lll d & e & f g & h & i a & b & c |
O que está acontecendo aqui? A matriz original teve suas linhas mudadas de posição. Especificamente, a primeira linha virou a terceira.
Regra importante: Quando trocamos duas linhas de lugar em uma matriz, o determinante muda de sinal.
Aplicando isso:
A matriz original tem determinante -(-6) = 6 .
Trocamos a primeira e a terceira linha, o que é uma troca de duas linhas.
Isso muda o sinal do determinante.
Então, o determinante da nova matriz é:
Passo 3
Agora, vamos para o item b):
|ccc 3a & 3b & 3c -d & -e & -f 4g & 4h & 4i |
O que está acontecendo aqui? Temos fatores multiplicativos nas linhas: a primeira linha está multiplicada por 3, a segunda por 3 times (-1) times 4 = -12 e a terceira por 4.
Regra importante: Se multiplicarmos uma linha de uma matriz por um escalar -12 times (-6) = 72 , o determinante é multiplicado por .
Aplicando isso:
Primeira linha: fator 3.
Segunda linha: fator .
Terceira linha: fator 4.
Multiplicamos esses fatores:
Então, o determinante da nova matriz é:
Passo 4
Vamos para o item c):
|ccc a+g & b+h & c+i d & e & f g & h & i |
O que está acontecendo aqui? A primeira linha da nova matriz é a soma da primeira e terceira linhas da matriz original.
Regra importante: Se adicionarmos a uma linha qualquer múltiplos de outras linhas, o determinante não muda.
Aplicando isso:
Podemos pensar que a primeira linha foi substituída por (linha 1 + linha 3).
Isso não altera o determinante.
Então, o determinante da nova matriz é o mesmo da original:
-6
Passo 5
Finalmente, o item d):
|ccc -3a & -3b & -3c d & e & f g-4d & h-4e & i-4f |
O que está acontecendo aqui? Temos algumas operações:
A primeira linha está multiplicada por -3 times (-6) = 18 .
A terceira linha foi substituída por (linha 3 - 4 \times linha 2).
Regras importantes:
Multiplicar uma linha por um escalar 18 multiplica o determinante por .
Subtrair múltiplos de uma linha de outra não altera o determinante.
Aplicando isso:
Primeiro, multipliquemos a primeira linha por . Isso multiplica o determinante por :
Agora, a terceira linha foi substituída por (linha 3 - 4 \times linha 2). Isso não muda o determinante.