Resolva os sistemas abaixo pelo método de Gauss-Jordan.
lx+y+z=6 4 x+2 y-z=5 x+3 y+2 z=13

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Gauss-Jordan. Esse método é uma técnica para resolver sistemas lineares transformando as equações em uma forma mais simples usando operações nas linhas da matriz. Vamos precisar entender como montar a matriz aumentada e fazer operações para chegar na solução final.
O sistema que temos é:
x + y + z = 6 4x + 2y - z = 5 x + 3y + 2z = 13

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz aumentada do sistema. A matriz aumentada inclui os coeficientes das variáveis e os termos constantes das equações. Ficaria assim:
1 & 1 & 1 & | & 6 4 & 2 & -1 & | & 5 1 & 3 & 2 & | & 13

Passo 3

O próximo passo é transformar a matriz para que ela tenha 1 na posição (1,1) e zeros abaixo dele. Já temos um 1 na primeira posição, então vamos eliminar o 4 na posição (2,1) e o 1 na posição (3,1).
Para eliminar o 4 na segunda linha, multiplicamos a primeira linha por 4 e subtraímos da segunda linha:
Linha2 = Linha2 - 4×Linha1
1 & 1 & 1 & | & 6 0 & -2 & -5 & | & -19 1 & 3 & 2 & | & 13

Passo 4

Agora, vamos eliminar o 1 na posição (3,1) da terceira linha. Para isso, subtraímos a primeira linha da terceira linha:
Linha3 = Linha3 - Linha1
1 & 1 & 1 & | & 6 0 & -2 & -5 & | & -19 0 & 2 & 1 & | & 7

Passo 5

Seguimos para a segunda coluna. Primeiro, vamos transformar o coeficiente na posição (2,2) em 1, dividindo a segunda linha por -2:
Linha2 = Linha2 / (-2)
1 & 1 & 1 & | & 6 0 & 1 & 52 & | & 192 0 & 2 & 1 & | & 7

Passo 6

Agora, vamos eliminar os valores acima e abaixo do 1 na segunda coluna. Para eliminar o 1 na posição (1,2), subtraímos a segunda linha da primeira linha:
Linha1 = Linha1 - Linha2
1 & 0 & -32 & | & -72 0 & 1 & 52 & | & 192 0 & 2 & 1 & | & 7
Para eliminar o 2 na posição (3,2), subtraímos 2 vezes a segunda linha da terceira linha:
Linha3 = Linha3 - 2×Linha2
1 & 0 & -32 & | & -72 0 & 1 & 52 & | & 192 0 & 0 & -4 & | & -12

Passo 7

Agora, vamos focar na terceira coluna. Primeiro, transformamos o coeficiente na posição (3,3) em 1, dividindo a terceira linha por -4:
Linha3 = Linha3 / (-4)
1 & 0 & -32 & | & -72 0 & 1 & 52 & | & 192 0 & 0 & 1 & | & 3

Passo 8

Finalmente, vamos eliminar os valores acima do 1 na terceira coluna. Para a primeira linha, adicionamos 1 & 0 & 0 & | & 2 0 & 1 & 52 & | & 192 0 & 0 & 1 & | & 3 vezes a terceira linha:
Linha1 = Linha1 + 1 & 0 & 0 & | & 2 0 & 1 & 0 & | & 2 0 & 0 & 1 & | & 3 ×Linha3
Para a segunda linha, subtraímos vezes a terceira linha:
Linha2 = Linha2 - ×Linha3

Resposta

Então, a solução do sistema é:
x = 2, y = 2, z = 3

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