Determine, caso exista, a matriz inversa das matrizes a abaixo:
Passo 1
Beleza, você me pediu para descobrir se a matriz que você enviou tem uma inversa e, se tiver, calcular essa inversa. Estamos lidando com matrizes e álgebra linear aqui. Para resolver isso, vamos precisar calcular o determinante da matriz e, se ele for diferente de zero, encontrar a matriz inversa usando cofatores e adjugados.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a matriz que queremos analisar:
A = 1 & 2 & 2 3 & 7 & 9 -1 & -4 & -7
Passo 3
Para saber se a matriz tem uma inversa, precisamos calcular o determinante dela. Se o determinante for diferente de zero, a inversa existe. O determinante de uma matriz 3x3 pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Aqui, vou usar a regra de Sarrus porque é mais direta.
Passo 4
Aplicando a regra de Sarrus:
det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
Para a nossa matriz a = 1, b = 2, c = 2 d = 3, e = 7, f = 9 g = -1, h = -4, i = -7 :
det(A) = 1 times (7 times (-7) - 9 times (-4)) - 2 times (3 times (-7) - 9 times (-1)) + 2 times (3 times (-4) - 7 times (-1))
Substituindo esses valores:
Passo 5
Vamos calcular passo a passo:
Primeiro termo:
7 times (-7) = -49 9 times (-4) = -36 -49 - (-36) = -49 + 36 = -13 1 times (-13) = -13
Segundo termo:
3 times (-7) = -21 9 times (-1) = -9 -21 - (-9) = -21 + 9 = -12 -2 times (-12) = 24
Terceiro termo:
3 times (-4) = -12 7 times (-1) = -7 -12 - (-7) = -12 + 7 = -5 2 times (-5) = -10
Passo 6
Agora, somamos todos os termos:
det(A) = -13 + 24 - 10 = 1
Como o determinante é 1 (diferente de zero), a matriz tem uma inversa.
Passo 7
Para encontrar a matriz inversa, vamos calcular os cofatores de cada elemento, formar a matriz dos cofatores, transpor essa matriz e, por fim, dividir cada elemento pelo determinante.
Primeiro, vamos encontrar os menores e os cofatores.
Passo 8
Calculando os cofatores:
Por exemplo, o cofator C11 = 7 & 9 -4 & -7 = (7 times -7) - (9 times -4) = -49 + 36 = -13 é o determinante da matriz menor que sobra quando removemos a primeira linha e a primeira coluna: