Determine, caso exista, a matriz inversa das matrizes a abaixo:
[ccc1 & 2 & 2 3 & 7 & 9 -1 & -4 & -7]

Passo 1

Beleza, você me pediu para descobrir se a matriz que você enviou tem uma inversa e, se tiver, calcular essa inversa. Estamos lidando com matrizes e álgebra linear aqui. Para resolver isso, vamos precisar calcular o determinante da matriz e, se ele for diferente de zero, encontrar a matriz inversa usando cofatores e adjugados.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a matriz que queremos analisar:
A = 1 & 2 & 2 3 & 7 & 9 -1 & -4 & -7

Passo 3

Para saber se a matriz tem uma inversa, precisamos calcular o determinante dela. Se o determinante for diferente de zero, a inversa existe. O determinante de uma matriz 3x3 pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Aqui, vou usar a regra de Sarrus porque é mais direta.

Passo 4

Aplicando a regra de Sarrus:
det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
Para a nossa matriz a = 1, b = 2, c = 2 d = 3, e = 7, f = 9 g = -1, h = -4, i = -7 :
det(A) = 1 times (7 times (-7) - 9 times (-4)) - 2 times (3 times (-7) - 9 times (-1)) + 2 times (3 times (-4) - 7 times (-1))
Substituindo esses valores:

Passo 5

Vamos calcular passo a passo:
  1. Primeiro termo:
7 times (-7) = -49 9 times (-4) = -36 -49 - (-36) = -49 + 36 = -13 1 times (-13) = -13
  1. Segundo termo:
3 times (-7) = -21 9 times (-1) = -9 -21 - (-9) = -21 + 9 = -12 -2 times (-12) = 24
  1. Terceiro termo:
3 times (-4) = -12 7 times (-1) = -7 -12 - (-7) = -12 + 7 = -5 2 times (-5) = -10

Passo 6

Agora, somamos todos os termos:
det(A) = -13 + 24 - 10 = 1
Como o determinante é 1 (diferente de zero), a matriz tem uma inversa.

Passo 7

Para encontrar a matriz inversa, vamos calcular os cofatores de cada elemento, formar a matriz dos cofatores, transpor essa matriz e, por fim, dividir cada elemento pelo determinante.
Primeiro, vamos encontrar os menores e os cofatores.

Passo 8

Calculando os cofatores:
Por exemplo, o cofator C11 = 7 & 9 -4 & -7 = (7 times -7) - (9 times -4) = -49 + 36 = -13 é o determinante da matriz menor que sobra quando removemos a primeira linha e a primeira coluna:
C12 = - 3 & 9 -1 & -7 = -[(3 times -7) - (9 times -1)] = -[-21 + 9] = -(-12) = 12
Fazemos isso para todos os elementos:
C13 = 3 & 7 -1 & -4 = (3 times -4) - (7 times -1) = -12 + 7 = -5
C21 = - 2 & 2 -4 & -7 = -[(2 times -7) - (2 times -4)] = -[-14 + 8] = -(-6) = 6
C22 = 1 & 2 -1 & -7 = (1 times -7) - (2 times -1) = -7 + 2 = -5
C23 = - 1 & 2 -1 & -4 = -[(1 times -4) - (2 times -1)] = -[-4 + 2] = -(-2) = 2
C31 = 2 & 2 7 & 9 = (2 times 9) - (2 times 7) = 18 - 14 = 4
C32 = - 1 & 2 3 & 9 = -[(1 times 9) - (2 times 3)] = -[9 - 6] = -3
C33 = 1 & 2 3 & 7 = (1 times 7) - (2 times 3) = 7 - 6 = 1

Passo 9

Agora, formamos a matriz dos cofatores:
Cofatores = -13 & 12 & -5 6 & -5 & 2 4 & -3 & 1
Em seguida, transpomos essa matriz para obter a matriz adjunta:
Adjugada = -13 & 6 & 4 12 & -5 & -3 -5 & 2 & 1

Passo 10

Finalmente, a matriz inversa A^-1 = 1det(A) times Adjugada = 1 times -13 & 6 & 4 12 & -5 & -3 -5 & 2 & 1 = -13 & 6 & 4 12 & -5 & -3 -5 & 2 & 1 é a adjugada dividida pelo determinante:

Resposta

A matriz inversa de A^-1 = -13 & 6 & 4 12 & -5 & -3 -5 & 2 & 1 é:

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