Determine para que as matrizes a seguir sejam iguais as suas inversas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o valor de de forma que a matriz dada seja igual à sua própria inversa. Isso envolve o conteúdo de matrizes e matrizes inversas. Para resolver, vamos precisar lembrar como calcular a inversa de uma matriz 2x2 e depois igualar os elementos correspondentes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como achar a inversa de uma matriz 2x2. Para uma matriz , a inversa é dada por:
onde o determinante .
Passo 3
Vamos aplicar isso à nossa matriz:
O determinante de é:
Então, a inversa de é:
Passo 4
Queremos que . Isso significa que cada elemento correspondente das duas matrizes deve ser igual. Vamos igualar os elementos:
Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 5
Vamos resolver a equação (3) para encontrar :
Multiplicando ambos os lados por :
Subtraindo 18 de ambos os lados:
Dividindo por -4:
Resposta
O valor de que torna a matriz igual à sua inversa é .