Determine times para que as matrizes a seguir sejam iguais as suas inversas.
(cc3 & x -2 & -3)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o valor de de forma que a matriz dada seja igual à sua própria inversa. Isso envolve o conteúdo de matrizes e matrizes inversas. Para resolver, vamos precisar lembrar como calcular a inversa de uma matriz 2x2 e depois igualar os elementos correspondentes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como achar a inversa de uma matriz 2x2. Para uma matriz a & b c & d , a inversa A^-1 = 1det(A) d & -b -c & a é dada por:
onde o determinante .

Passo 3

Vamos aplicar isso à nossa matriz:
A = 3 & x -2 & -3
O determinante de det(A) = (3)(-3) - (-2)(x) = -9 + 2x é:
A^-1 = 1-9 + 2x -3 & -x 2 & 3
Então, a inversa de é:

Passo 4

Queremos que 3 & x -2 & -3 = 1-9 + 2x -3 & -x 2 & 3 . Isso significa que cada elemento correspondente das duas matrizes deve ser igual. Vamos igualar os elementos:
3 = -3-9 + 2x (1)
Isso nos dá o sistema de equações:
x = -x-9 + 2x (2)
-2 = 2-9 + 2x (3)
-3 = 3-9 + 2x (4)

Passo 5

Vamos resolver a equação (3) para encontrar -2 = 2-9 + 2x :
-2(-9 + 2x) = 2
Multiplicando ambos os lados por 18 - 4x = 2 :
-4x = -16
x = 4
Subtraindo 18 de ambos os lados:
Dividindo por -4:

Resposta

O valor de que torna a matriz igual à sua inversa é .

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