Resolva os sistemas lineares a seguir usando o método da Eliminação de Gauss e a fatoração LU.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares usando dois métodos diferentes: a Eliminação de Gauss e a Fatoração LU. A gente vai precisar entender como simplificar um sistema de equações para encontrar os valores de , e . Vamos começar com a Eliminação de Gauss!
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de uma matriz aumentada. Isso ajuda a visualizar melhor as operações que vamos fazer. A matriz aumentada fica assim:
Passo 3
Nosso objetivo na Eliminação de Gauss é transformar essa matriz em uma forma triangular superior, ou seja, deixar zeros abaixo da diagonal principal. Vamos começar eliminando o elemento , que está na segunda linha e primeira coluna.
Para isso, podemos multiplicar a primeira linha por e subtrair da segunda linha:
Fazendo essa operação, a segunda linha fica:
Passo 4
Agora, vamos eliminar o elemento , que está na terceira linha e primeira coluna. Usamos a primeira linha novamente:
Após essa operação, a terceira linha fica:
Passo 5
Nossa matriz agora ficou assim:
Vamos continuar eliminando para deixar zeros abaixo da diagonal. Vamos eliminar o elemento .
Multiplicamos a segunda linha por e subtraímos da terceira linha:
Isso deixa a terceira linha como:
Passo 6
Agora nossa matriz está na forma triangular superior:
Vamos usar a substituição retroativa para encontrar os valores das incógnitas.
Passo 7
Começamos pela terceira equação, que já está resolvida:
Passo 8
Substituímos na segunda equação:
Passo 9
Agora, substituímos e na primeira equação:
Passo 10
Então, pela Eliminação de Gauss, encontramos:
Passo 11
Agora vamos resolver o mesmo sistema usando a Fatoração LU. Esse método envolve decompor a matriz dos coeficientes em duas matrizes: uma matriz inferior e uma matriz superior .
Primeiro, escrevemos a matriz dos coeficientes:
Passo 12
Vamos decompor em e onde:
Passo 13
Começamos determinando os elementos de :
Para encontrar :
Passo 14
Atualizamos a segunda linha de :
Passo 15
Encontramos :
Atualizamos a terceira linha de :
Passo 16
Agora, nossa fatoração fica assim:
Para encontrar :
Então,
Passo 17
Agora que temos e , podemos resolver primeiro, onde .
Primeira equação:
Segunda equação:
Passo 18
Terceira equação:
Passo 19
Agora, resolvemos .
Primeira equação:
Segunda equação:
Passo 20
Substituindo na primeira equação:
Passo 21
Como , nossos valores são:
Resposta
Pelos dois métodos aplicados, os valores das incógnitas são: