Resolva os sistemas lineares a seguir usando o método da Eliminação de Gauss e a fatoração LU.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares usando dois métodos diferentes: a Eliminação de Gauss e a Fatoração LU. A gente vai precisar entender como simplificar um sistema de equações para encontrar os valores de , e . Vamos começar com a Eliminação de Gauss!
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de uma matriz aumentada. Isso ajuda a visualizar melhor as operações que vamos fazer. A matriz aumentada fica assim:
Nosso objetivo na Eliminação de Gauss é transformar essa matriz em uma forma triangular superior, ou seja, deixar zeros abaixo da diagonal principal. Vamos começar eliminando o elemento L2 = L2 - (15)L1 , que está na segunda linha e primeira coluna.
Para isso, podemos multiplicar a primeira linha por 0 & 0.6 & 1.6 & | & 1.8 e subtrair da segunda linha:
Fazendo essa operação, a segunda linha fica:
Passo 4
Agora, vamos eliminar o elemento L3 = L3 - (45)L1 , que está na terceira linha e primeira coluna. Usamos a primeira linha novamente:
Agora vamos resolver o mesmo sistema usando a Fatoração LU. Esse método envolve decompor a matriz dos coeficientes em duas matrizes: uma matriz inferior A = 5 & 2 & 4 1 & 1 & 2 4 & 3 & 7 e uma matriz superior .
Primeiro, escrevemos a matriz dos coeficientes:
Passo 12
Vamos decompor L = 1 & 0 & 0 l21 & 1 & 0 l31 & l32 & 1 , U = u11 & u12 & u13 0 & u22 & u23 0 & 0 & u33 em e onde:
Passo 13
Começamos determinando os elementos de u11 = 5, u12 = 2, u13 = 4 :
l21 = a21u11 = 15
Para encontrar :
Passo 14
Atualizamos a segunda linha de u22 = a22 - l21u12 = 1 - 15 times 2 = 35 :
u23 = a23 - l21u13 = 2 - 15 times 4 = 65
Passo 15
Encontramos l31 = a31u11 = 45 :
u32 = a32 - l31u12 = 3 - 45 times 2 = 75
Atualizamos a terceira linha de u33 = a33 - l31u13 = 7 - 45 times 4 = 275 :