Resolva os sistemas lineares a seguir usando o método da Eliminação de Gauss e a fatoração LU.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares usando dois métodos diferentes: a Eliminação de Gauss e a Fatoração LU. A gente vai precisar entender como simplificar um sistema de equações para encontrar os valores de , e . Vamos começar com a Eliminação de Gauss!

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de uma matriz aumentada. Isso ajuda a visualizar melhor as operações que vamos fazer. A matriz aumentada fica assim:

Passo 3

Nosso objetivo na Eliminação de Gauss é transformar essa matriz em uma forma triangular superior, ou seja, deixar zeros abaixo da diagonal principal. Vamos começar eliminando o elemento , que está na segunda linha e primeira coluna.
Para isso, podemos multiplicar a primeira linha por e subtrair da segunda linha:
Fazendo essa operação, a segunda linha fica:

Passo 4

Agora, vamos eliminar o elemento , que está na terceira linha e primeira coluna. Usamos a primeira linha novamente:
Após essa operação, a terceira linha fica:

Passo 5

Nossa matriz agora ficou assim:
Vamos continuar eliminando para deixar zeros abaixo da diagonal. Vamos eliminar o elemento .
Multiplicamos a segunda linha por e subtraímos da terceira linha:
Isso deixa a terceira linha como:

Passo 6

Agora nossa matriz está na forma triangular superior:
Vamos usar a substituição retroativa para encontrar os valores das incógnitas.

Passo 7

Começamos pela terceira equação, que já está resolvida:

Passo 8

Substituímos na segunda equação:

Passo 9

Agora, substituímos e na primeira equação:

Passo 10

Então, pela Eliminação de Gauss, encontramos:

Passo 11

Agora vamos resolver o mesmo sistema usando a Fatoração LU. Esse método envolve decompor a matriz dos coeficientes em duas matrizes: uma matriz inferior e uma matriz superior .
Primeiro, escrevemos a matriz dos coeficientes:

Passo 12

Vamos decompor em e onde:

Passo 13

Começamos determinando os elementos de :
Para encontrar :

Passo 14

Atualizamos a segunda linha de :

Passo 15

Encontramos :
Atualizamos a terceira linha de :

Passo 16

Agora, nossa fatoração fica assim:
Para encontrar :
Então,

Passo 17

Agora que temos e , podemos resolver primeiro, onde .
Primeira equação:
Segunda equação:

Passo 18

Terceira equação:

Passo 19

Agora, resolvemos .
Primeira equação:
Segunda equação:

Passo 20

Substituindo na primeira equação:

Passo 21

Como , nossos valores são:

Resposta

Pelos dois métodos aplicados, os valores das incógnitas são:

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Porta Lógica Atraso (ns)
Inversora 1
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OR, NOR (com duas entradas) 3
AND, NAND (com três entradas) 4
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OR, NOR (com quatro entradas) 7
Considerando o circuito projetado, as informações técnicas, e a possibilidade de simplificação, qual o menor tempo de resposta possível para o acionamento desse sistema de alarme?
(a) 8 ns
(b) 7 ns
© 6 ns
(d) 5 ns
(e) 4 ns
Resolva os sistemas lineares a seguir usando o método da Eliminação de Gauss e a fatoração LU.
Classifique e resolva cada um dos sistemas a seguir: