Resolva os sistemas lineares a seguir usando o método da Eliminação de Gauss e a fatoração LU.
l5 x1+2 x2+4 x3=1 x1+x2+2 x3=2 4 x1+3 x2+7 x3=5

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares usando dois métodos diferentes: a Eliminação de Gauss e a Fatoração LU. A gente vai precisar entender como simplificar um sistema de equações para encontrar os valores de , e . Vamos começar com a Eliminação de Gauss!

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de uma matriz aumentada. Isso ajuda a visualizar melhor as operações que vamos fazer. A matriz aumentada fica assim:
5 & 2 & 4 & | & 1 1 & 1 & 2 & | & 2 4 & 3 & 7 & | & 5

Passo 3

Nosso objetivo na Eliminação de Gauss é transformar essa matriz em uma forma triangular superior, ou seja, deixar zeros abaixo da diagonal principal. Vamos começar eliminando o elemento L2 = L2 - (15)L1 , que está na segunda linha e primeira coluna.
Para isso, podemos multiplicar a primeira linha por 0 & 0.6 & 1.6 & | & 1.8 e subtrair da segunda linha:
Fazendo essa operação, a segunda linha fica:

Passo 4

Agora, vamos eliminar o elemento L3 = L3 - (45)L1 , que está na terceira linha e primeira coluna. Usamos a primeira linha novamente:
0 & 1.4 & 3.2 & | & 3.2
Após essa operação, a terceira linha fica:

Passo 5

Nossa matriz agora ficou assim:
5 & 2 & 4 & | & 1 0 & 0.6 & 1.6 & | & 1.8 0 & 1.4 & 3.2 & | & 3.2
Vamos continuar eliminando para deixar zeros abaixo da diagonal. Vamos eliminar o elemento L3 = L3 - (1.40.6)L2 .
Multiplicamos a segunda linha por 0 & 0 & 1 & | & 1 e subtraímos da terceira linha:
Isso deixa a terceira linha como:

Passo 6

Agora nossa matriz está na forma triangular superior:
5 & 2 & 4 & | & 1 0 & 0.6 & 1.6 & | & 1.8 0 & 0 & 1 & | & 1
Vamos usar a substituição retroativa para encontrar os valores das incógnitas.

Passo 7

Começamos pela terceira equação, que já está resolvida:
x3 = 1

Passo 8

Substituímos 0.6x2 + 1.6(1) = 1.8 0.6x2 + 1.6 = 1.8 0.6x2 = 0.2 x2 = 0.20.6 x2 = 13 na segunda equação:

Passo 9

Agora, substituímos 5x1 + 2(13) + 4(1) = 1 5x1 + 23 + 4 = 1 5x1 + 143 = 1 5x1 = 1 - 143 5x1 = -113 x1 = -1115 e na primeira equação:

Passo 10

Então, pela Eliminação de Gauss, encontramos:
x1 = -1115, x2 = 13, x3 = 1

Passo 11

Agora vamos resolver o mesmo sistema usando a Fatoração LU. Esse método envolve decompor a matriz dos coeficientes em duas matrizes: uma matriz inferior A = 5 & 2 & 4 1 & 1 & 2 4 & 3 & 7 e uma matriz superior .
Primeiro, escrevemos a matriz dos coeficientes:

Passo 12

Vamos decompor L = 1 & 0 & 0 l21 & 1 & 0 l31 & l32 & 1 , U = u11 & u12 & u13 0 & u22 & u23 0 & 0 & u33 em e onde:

Passo 13

Começamos determinando os elementos de u11 = 5, u12 = 2, u13 = 4 :
l21 = a21u11 = 15
Para encontrar :

Passo 14

Atualizamos a segunda linha de u22 = a22 - l21u12 = 1 - 15 times 2 = 35 :
u23 = a23 - l21u13 = 2 - 15 times 4 = 65

Passo 15

Encontramos l31 = a31u11 = 45 :
u32 = a32 - l31u12 = 3 - 45 times 2 = 75
Atualizamos a terceira linha de u33 = a33 - l31u13 = 7 - 45 times 4 = 275 :

Passo 16

Agora, nossa fatoração fica assim:
L = 1 & 0 & 0 15 & 1 & 0 45 & l32 & 1 , U = 5 & 2 & 4 0 & 35 & 65 0 & 75 & 275
Para encontrar l32 = u32u22 = 7535 = 73 :
L = 1 & 0 & 0 15 & 1 & 0 45 & 73 & 1
Então,

Passo 17

Agora que temos 1 2 5 e y1 = 1 , podemos resolver 15y1 + y2 = 2 15(1) + y2 = 2 y2 = 2 - 15 = 95 primeiro, onde .
Primeira equação:
Segunda equação:

Passo 18

Terceira equação:
45y1 + 73y2 + y3 = 5 45(1) + 73(95) + y3 = 5 45 + 6315 + y3 = 5 45 + 215 + y3 = 5 255 + y3 = 5 5 + y3 = 5 y3 = 0

Passo 19

Agora, resolvemos 5x1 + 2x2 + 4x3 = y1 = 1 5x1 + 2x2 + 4(0) = 1 5x1 + 2x2 = 1 .
Primeira equação:
35x2 + 65x3 = y2 = 95 35x2 + 65(0) = 95 35x2 = 95 x2 = 3
Segunda equação:

Passo 20

Substituindo 5x1 + 2(3) = 1 5x1 + 6 = 1 5x1 = -5 x1 = -1 na primeira equação:

Passo 21

Como x1 = -1, x2 = 3, x3 = 0 , nossos valores são:

Resposta

Pelos dois métodos aplicados, os valores das incógnitas são:
x1 = -1115, x2 = 13, x3 = 1

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