Resolva os sistemas lineares a seguir usando o método da Eliminação de Gauss e a fatoração LU.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando dois métodos: a Eliminação de Gauss e a Fatoração LU. Estamos trabalhando com sistemas lineares aqui, e para isso vamos precisar manipular as equações de forma a encontrar os valores das incógnitas , , e .
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o método da Eliminação de Gauss. Isso envolve transformar o sistema de equações em uma forma triangular superior, facilitando a resolução por substituição.
Passo 3
Vamos montar a matriz aumentada do sistema:
Passo 4
Nosso objetivo é zerar os elementos abaixo do primeiro pivô (que é 3). Para isso, vamos realizar operações nas linhas.
Primeiro, multiplicamos a primeira linha por 2 e somamos à segunda linha:
Nova segunda linha:
Passo 5
Agora, multiplicamos a primeira linha por -3 e somamos à terceira linha:
Nova terceira linha:
Passo 6
Em seguida, multiplicamos a primeira linha por -2 e somamos à quarta linha:
Nova quarta linha:
Passo 7
Agora, vamos focar na segunda coluna. O pivô é 3 na segunda linha. Vamos zerar os elementos abaixo dele.
Multiplicamos a segunda linha por 4 e somamos à quarta linha:
Nova quarta linha:
Passo 8
Agora, vamos simplificar a quarta linha dividindo por 12:
Nova quarta linha:
Passo 9
Com isso, a matriz triangular superior está pronta. Agora, fazemos a substituição para encontrar os valores das incógnitas.
Começamos pela quarta equação:
Passo 10
Vamos resolver as equações de baixo para cima:
Da terceira equação:
Passo 11
Substituímos na quarta equação:
Simplificando:
Multiplicando tudo por 12 para eliminar os denominadores:
Passo 12
Agora, substituímos e na segunda equação:
Substituindo:
Simplificando:
Passo 13
Com , encontramos :
E :
Passo 14
Por fim, substituímos , e na primeira equação para encontrar :
Passo 15
Agora, vamos aplicar a Fatoração LU para resolver o mesmo sistema. Fatoração LU envolve decompor a matriz dos coeficientes em uma matriz inferior e uma matriz superior .
Passo 16
Primeiro, escrevemos a matriz dos coeficientes e o vetor dos termos independentes :
Passo 17
Vamos decompor em e onde é triangular inferior com 1’s na diagonal e é triangular superior.
Primeiro, inicializamos como identidade e igual a :
Passo 18
Aplicamos a Eliminação de Gauss para transformar em uma matriz triangular superior, armazenando os multiplicadores em .
Para a primeira coluna:
Atualizamos e :
Passo 19
Para a segunda coluna:
Atualizamos e :
Passo 20
Agora, temos . Para resolver , fazemos duas etapas: