Resolva os sistemas lineares a seguir usando o método da Eliminação de Gauss e a fatoração LU.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando dois métodos: a Eliminação de Gauss e a Fatoração LU. Estamos trabalhando com sistemas lineares aqui, e para isso vamos precisar manipular as equações de forma a encontrar os valores das incógnitas , , e .
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o método da Eliminação de Gauss. Isso envolve transformar o sistema de equações em uma forma triangular superior, facilitando a resolução por substituição.
Com x3 = 1 + 12 = 1 , encontramos x2 = 7 - 7 times 14 = 0 :
E :
Passo 14
Por fim, substituímos 3x1 - 2x2 + 5x3 + x4 = 7 , 3x1 - 2 times 0 + 5 times 1 + 1 = 7 implies 3x1 + 6 = 7 implies 3x1 = 1 implies x1 = 13 e na primeira equação para encontrar :
Passo 15
Agora, vamos aplicar a Fatoração LU para resolver o mesmo sistema. Fatoração LU envolve decompor a matriz dos coeficientes em uma matriz inferior e uma matriz superior .
Passo 16
Primeiro, escrevemos a matriz dos coeficientes A = 3 & -2 & 5 & 1 -6 & 7 & -8 & 1 9 & -6 & 19 & 1 6 & -4 & -6 & 15 , b = 7 -9 23 11 e o vetor dos termos independentes :
Passo 17
Vamos decompor L = 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 , U = A em e onde é triangular inferior com 1’s na diagonal e é triangular superior.
Primeiro, inicializamos como identidade e igual a :