Resolva os sistemas lineares a seguir usando o método da Eliminação de Gauss e a fatoração LU.
l3 x1-2 x2+5 x3+x4=7 -6 x1+7 x2-8 x3+x4=-9 9 x1-6 x2+19 x3+x4=23 6 x1-4 x2-6 x3+15 x4=11

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando dois métodos: a Eliminação de Gauss e a Fatoração LU. Estamos trabalhando com sistemas lineares aqui, e para isso vamos precisar manipular as equações de forma a encontrar os valores das incógnitas , , e .

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o método da Eliminação de Gauss. Isso envolve transformar o sistema de equações em uma forma triangular superior, facilitando a resolução por substituição.

Passo 3

Vamos montar a matriz aumentada do sistema:
3 & -2 & 5 & 1 & | & 7 -6 & 7 & -8 & 1 & | & -9 9 & -6 & 19 & 1 & | & 23 6 & -4 & -6 & 15 & | & 11

Passo 4

Nosso objetivo é zerar os elementos abaixo do primeiro pivô (que é 3). Para isso, vamos realizar operações nas linhas.
Primeiro, multiplicamos a primeira linha por 2 e somamos à segunda linha:
L2 = L2 + 2 times L1
-6 + 2 times 3 = 0, 7 + 2 times (-2) = 3, -8 + 2 times 5 = 2, 1 + 2 times 1 = 3, -9 + 2 times 7 = 5
Nova segunda linha:

Passo 5

Agora, multiplicamos a primeira linha por -3 e somamos à terceira linha:
L3 = L3 + (-3) times L1
9 + (-3) times 3 = 0, -6 + (-3) times (-2) = 0, 19 + (-3) times 5 = 4, 1 + (-3) times 1 = -2, 23 + (-3) times 7 = 2
Nova terceira linha:

Passo 6

Em seguida, multiplicamos a primeira linha por -2 e somamos à quarta linha:
L4 = L4 + (-2) times L1
6 + (-2) times 3 = 0, -4 + (-2) times (-2) = 0, -6 + (-2) times 5 = -16, 15 + (-2) times 1 = 13, 11 + (-2) times 7 = -3
Nova quarta linha:

Passo 7

Agora, vamos focar na segunda coluna. O pivô é 3 na segunda linha. Vamos zerar os elementos abaixo dele.
Multiplicamos a segunda linha por 4 e somamos à quarta linha:
L4 = L4 + 4 times L2
0 + 4 times 0 = 0, 0 + 4 times 3 = 12, -16 + 4 times 2 = -8, 13 + 4 times 3 = 25, -3 + 4 times 5 = 17
Nova quarta linha:

Passo 8

Agora, vamos simplificar a quarta linha dividindo por 12:
L4 = 112 times L4
0, 1, -23, 2512, 1712
Nova quarta linha:

Passo 9

Com isso, a matriz triangular superior está pronta. Agora, fazemos a substituição para encontrar os valores das incógnitas.
Começamos pela quarta equação:
x2 - 23x3 + 2512x4 = 1712

Passo 10

Vamos resolver as equações de baixo para cima:
Da terceira equação:
4x3 - 2x4 = 2 implies 4x3 = 2 + 2x4 implies x3 = 2 + 2x44 = 1 + x42

Passo 11

Substituímos x2 - 23 ( 1 + x42 ) + 2512x4 = 1712 na quarta equação:
x2 - 1 + x43 + 2512x4 = 1712
Simplificando:
12x2 - 4(1 + x4) + 25x4 = 17
Multiplicando tudo por 12 para eliminar os denominadores:
12x2 - 4 - 4x4 + 25x4 = 17
12x2 + 21x4 = 21 implies 12x2 = 21 - 21x4 implies x2 = 21 - 21x412 = 7 - 7x44

Passo 12

Agora, substituímos 3x2 + 2x3 + 3x4 = 5 e 3 ( 7 - 7x44 ) + 2 ( 1 + x42 ) + 3x4 = 5 na segunda equação:
21 - 21x44 + 2 + 2x42 + 3x4 = 5
Substituindo:
21 - 21x44 + 4 + 4x44 + 12x44 = 204
Simplificando:
21 - 21x4 + 4 + 4x4 + 12x44 = 204
25 - 5x44 = 204 implies 25 - 5x4 = 20 implies -5x4 = -5 implies x4 = 1

Passo 13

Com x3 = 1 + 12 = 1 , encontramos x2 = 7 - 7 times 14 = 0 :
E :

Passo 14

Por fim, substituímos 3x1 - 2x2 + 5x3 + x4 = 7 , 3x1 - 2 times 0 + 5 times 1 + 1 = 7 implies 3x1 + 6 = 7 implies 3x1 = 1 implies x1 = 13 e na primeira equação para encontrar :

Passo 15

Agora, vamos aplicar a Fatoração LU para resolver o mesmo sistema. Fatoração LU envolve decompor a matriz dos coeficientes em uma matriz inferior e uma matriz superior .

Passo 16

Primeiro, escrevemos a matriz dos coeficientes A = 3 & -2 & 5 & 1 -6 & 7 & -8 & 1 9 & -6 & 19 & 1 6 & -4 & -6 & 15 , b = 7 -9 23 11 e o vetor dos termos independentes :

Passo 17

Vamos decompor L = 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 , U = A em e onde é triangular inferior com 1’s na diagonal e é triangular superior.
Primeiro, inicializamos como identidade e igual a :

Passo 18

Aplicamos a Eliminação de Gauss para transformar m21 = -63 = -2, m31 = 93 = 3, m41 = 63 = 2 em uma matriz triangular superior, armazenando os multiplicadores em L = 1 & 0 & 0 & 0 -2 & 1 & 0 & 0 3 & 0 & 1 & 0 2 & 0 & 0 & 1 , U = 3 & -2 & 5 & 1 0 & 3 & 2 & 3 0 & 0 & 4 & -2 0 & 0 & -16 & 13 .
Para a primeira coluna:
Atualizamos e :

Passo 19

Para a segunda coluna:
m43 = -164 = -4
Atualizamos L = 1 & 0 & 0 & 0 -2 & 1 & 0 & 0 3 & 0 & 1 & 0 2 & 0 & -4 & 1 , U = 3 & -2 & 5 & 1 0 & 3 & 2 & 3 0 & 0 & 4 & -2 0 & 0 & 0 & 5 e :

Passo 20

Agora, temos . Para resolver , fazemos duas etapas:
  1. Resolver para .
  2. Resolver para .

Passo 21

Resolvendo y1 = 7 -2y1 + y2 = -9 3y1 + y3 = 23 2y1 -4y3 + y4 = 11 :
-14 + y2 = -9 implies y2 = 5 21 + y3 = 23 implies y3 = 2 14 - 8 + y4 = 11 implies y4 = 5
Substituindo 7 5 2 5 :
Então, .

Passo 22

Agora, resolvemos 3x1 -2x2 +5x3 +x4 = 7 0x1 +3x2 +2x3 +3x4 = 5 0x1 +0x2 +4x3 -2x4 = 2 0x1 +0x2 +0x3 +5x4 = 5 :
5x4 = 5 implies x4 = 1
Começamos pela última equação:

Passo 23

Substituímos 4x3 - 2(1) = 2 implies 4x3 = 4 implies x3 = 1 na terceira equação:

Passo 24

Substituímos 3x2 + 2(1) + 3(1) = 5 implies 3x2 + 5 = 5 implies 3x2 = 0 implies x2 = 0 e na segunda equação:

Passo 25

Por fim, substituímos 3x1 -2(0) +5(1) +1 = 7 implies 3x1 +6 = 7 implies 3x1 = 1 implies x1 = 13 , e na primeira equação:

Resposta

As soluções do sistema são:
x1 = 13, x2 = 0, x3 = 1, x4 = 1

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