Resolva os sistemas lineares a seguir usando o método da Eliminação de Gauss e a fatoração LU.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando dois métodos: a Eliminação de Gauss e a Fatoração LU. Estamos trabalhando com sistemas lineares aqui, e para isso vamos precisar manipular as equações de forma a encontrar os valores das incógnitas , , e .

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o método da Eliminação de Gauss. Isso envolve transformar o sistema de equações em uma forma triangular superior, facilitando a resolução por substituição.

Passo 3

Vamos montar a matriz aumentada do sistema:

Passo 4

Nosso objetivo é zerar os elementos abaixo do primeiro pivô (que é 3). Para isso, vamos realizar operações nas linhas.
Primeiro, multiplicamos a primeira linha por 2 e somamos à segunda linha:
Nova segunda linha:

Passo 5

Agora, multiplicamos a primeira linha por -3 e somamos à terceira linha:
Nova terceira linha:

Passo 6

Em seguida, multiplicamos a primeira linha por -2 e somamos à quarta linha:
Nova quarta linha:

Passo 7

Agora, vamos focar na segunda coluna. O pivô é 3 na segunda linha. Vamos zerar os elementos abaixo dele.
Multiplicamos a segunda linha por 4 e somamos à quarta linha:
Nova quarta linha:

Passo 8

Agora, vamos simplificar a quarta linha dividindo por 12:
Nova quarta linha:

Passo 9

Com isso, a matriz triangular superior está pronta. Agora, fazemos a substituição para encontrar os valores das incógnitas.
Começamos pela quarta equação:

Passo 10

Vamos resolver as equações de baixo para cima:
Da terceira equação:

Passo 11

Substituímos na quarta equação:
Simplificando:
Multiplicando tudo por 12 para eliminar os denominadores:

Passo 12

Agora, substituímos e na segunda equação:
Substituindo:
Simplificando:

Passo 13

Com , encontramos :
E :

Passo 14

Por fim, substituímos , e na primeira equação para encontrar :

Passo 15

Agora, vamos aplicar a Fatoração LU para resolver o mesmo sistema. Fatoração LU envolve decompor a matriz dos coeficientes em uma matriz inferior e uma matriz superior .

Passo 16

Primeiro, escrevemos a matriz dos coeficientes e o vetor dos termos independentes :

Passo 17

Vamos decompor em e onde é triangular inferior com 1’s na diagonal e é triangular superior.
Primeiro, inicializamos como identidade e igual a :

Passo 18

Aplicamos a Eliminação de Gauss para transformar em uma matriz triangular superior, armazenando os multiplicadores em .
Para a primeira coluna:
Atualizamos e :

Passo 19

Para a segunda coluna:
Atualizamos e :

Passo 20

Agora, temos . Para resolver , fazemos duas etapas:
  1. Resolver para .
  2. Resolver para .

Passo 21

Resolvendo :
Substituindo :
Então, .

Passo 22

Agora, resolvemos :
Começamos pela última equação:

Passo 23

Substituímos na terceira equação:

Passo 24

Substituímos e na segunda equação:

Passo 25

Por fim, substituímos , e na primeira equação:

Resposta

As soluções do sistema são:

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