Resolva os sistemas por meio da transformada de Laplace:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais usando a transformada de Laplace. Temos duas equações com derivadas de e , e condições iniciais para e . Para isso, vamos transformar as equações do domínio do tempo para o domínio de Laplace, onde as operações com derivadas ficam mais fáceis de manejar.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace em cada equação do sistema. Lembrando que a transformada de uma derivada e similarmente para .
Para a primeira equação:
Substituindo :
Para a segunda equação:
Substituindo :
Passo 3
Agora, vamos organizar as equações transformadas para facilitar a solução:
Primeira equação:
Segunda equação:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema de equações algébricas para e . Podemos usar o método da substituição ou da matriz. Vamos usar a matriz para simplificar.
Escrevendo o sistema na forma matricial:
[
]
Passo 5
Calculamos o determinante da matriz dos coeficientes:
Agora, usamos Cramer para encontrar e :
Para :
Então:
Para :
Então:
Passo 6
Agora, simplificamos as expressões de e :
Para :
Para :
Passo 7
Fatoramos o denominador :
Então, as expressões ficam:
Passo 8
Agora, realizamos a decomposição em frações parciais para encontrar a transformada inversa de Laplace.
Para :
Resolvendo para , encontramos:
Então:
Para :
Resolvendo para , encontramos:
Então:
Passo 9
Aplicamos a transformada inversa de Laplace para encontrar e :