Resolva os sistemas por meio da transformada de Laplace:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais usando a transformada de Laplace. Temos duas equações com derivadas de e , e condições iniciais para e . Para isso, vamos transformar as equações do domínio do tempo para o domínio de Laplace, onde as operações com derivadas ficam mais fáceis de manejar.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace em cada equação do sistema. Lembrando que a transformada de uma derivada e similarmente para .
Para a primeira equação:
Substituindo :
Para a segunda equação:
Substituindo :

Passo 3

Agora, vamos organizar as equações transformadas para facilitar a solução:
Primeira equação:
Segunda equação:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema de equações algébricas para e . Podemos usar o método da substituição ou da matriz. Vamos usar a matriz para simplificar.

Escrevendo o sistema na forma matricial:
[


]

Passo 5

Calculamos o determinante da matriz dos coeficientes:
Agora, usamos Cramer para encontrar e :
Para :
Então:
Para :
Então:

Passo 6

Agora, simplificamos as expressões de e :
Para :
Para :

Passo 7

Fatoramos o denominador :
Então, as expressões ficam:

Passo 8

Agora, realizamos a decomposição em frações parciais para encontrar a transformada inversa de Laplace.
Para :
Resolvendo para , encontramos:
Então:
Para :
Resolvendo para , encontramos:
Então:

Passo 9

Aplicamos a transformada inversa de Laplace para encontrar e :
Para :
Para :

Resposta

As soluções do sistema são:

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