Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Aqui, estamos lidando com um sistema de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar os autovalores e autovetores da matriz dada. Esses conceitos fazem parte da matéria de Álgebra Linear e são fundamentais para resolver sistemas lineares desse tipo.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os autovalores da matriz . Os autovalores () são encontrados resolvendo a equação característica:
Onde é a matriz identidade.
Passo 3
Vamos calcular o determinante :
Passo 4
Agora, vamos expandir a expressão:
Então:
Passo 5
Resolvemos a equação quadrática . Vamos usar a fórmula de Bhaskara:
Então, temos um autovalor múltiplo com multiplicidade 2.
Passo 6
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes ao autovalor . Para isso, resolvemos :
Passo 7
Resolvemos o sistema:
Observamos que as duas equações são equivalentes. Portanto, temos:
Podemos escolher , então . Assim, um autovetor é:
Passo 8
Como o autovalor tem multiplicidade 2, mas encontramos apenas um autovetor, precisamos encontrar um autovetor generalizado. Isso é necessário para formar a solução completa do sistema.
Passo 9
Para encontrar o autovetor generalizado , resolvemos :
Isso nos dá o sistema:
A segunda equação é apenas o dobro da primeira, então podemos resolver a primeira:
Escolhendo , temos . Portanto, o autovetor generalizado é:
Passo 10
Com os autovalores e autovetores em mãos, podemos escrever a solução geral do sistema. Como temos um autovalor múltiplo com um autovetor geral, a solução será:
Onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.