Resolva:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Aqui, estamos lidando com um sistema de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar os autovalores e autovetores da matriz dada. Esses conceitos fazem parte da matéria de Álgebra Linear e são fundamentais para resolver sistemas lineares desse tipo.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os autovalores da matriz . Os autovalores ( ) são encontrados resolvendo a equação característica:
Onde é a matriz identidade.

Passo 3

Vamos calcular o determinante :

Passo 4

Agora, vamos expandir a expressão:
Então:

Passo 5

Resolvemos a equação quadrática . Vamos usar a fórmula de Bhaskara:
Então, temos um autovalor múltiplo com multiplicidade 2.

Passo 6

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes ao autovalor . Para isso, resolvemos :

Passo 7

Resolvemos o sistema:
Observamos que as duas equações são equivalentes. Portanto, temos:
Podemos escolher , então . Assim, um autovetor é:

Passo 8

Como o autovalor tem multiplicidade 2, mas encontramos apenas um autovetor, precisamos encontrar um autovetor generalizado. Isso é necessário para formar a solução completa do sistema.

Passo 9

Para encontrar o autovetor generalizado , resolvemos :
Isso nos dá o sistema:
A segunda equação é apenas o dobro da primeira, então podemos resolver a primeira:
Escolhendo , temos . Portanto, o autovetor generalizado é:

Passo 10

Com os autovalores e autovetores em mãos, podemos escrever a solução geral do sistema. Como temos um autovalor múltiplo com um autovetor geral, a solução será:
Onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

A solução geral do sistema é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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