Resolva:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais que foi proposto. O enunciado é:
Aqui, estamos lidando com um sistema linear de equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar os valores próprios e os vetores próprios da matriz que está multiplicando o vetor
. Esses conceitos fazem parte da álgebra linear e são essenciais para resolver sistemas lineares de equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os valores próprios da matriz:
Para isso, usamos a equação característica:
Onde
é a matriz identidade e
representa os valores próprios.
Passo 3
Calculando a determinante:
Simplificando:
Passo 4
Resolvendo a equação quadrática:
Usamos a fórmula de Bhaskara:
Então, temos um valor próprio duplo:
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar o vetor próprio correspondente a
. Resolvemos:
Substituindo
:
Isso nos dá o sistema:
A segunda equação é apenas o dobro da primeira, portanto, temos apenas uma equação independente:
.
Podemos escolher
, então
.
Então, o vetor próprio é:
Passo 6
Como temos um valor próprio duplo, precisamos encontrar uma solução generalizada. Encontramos um vetor
tal que:
Resolvendo:
Isso nos dá:
Novamente, a segunda equação é o dobro da primeira. Então, resolvemos
. Escolhendo
, temos
.
Então, o vetor generalizado é:
Passo 7
Agora, podemos escrever a solução geral do sistema:
Substituindo
,
e
:
Onde
e
são constantes que dependem das condições iniciais.
Resposta
A solução geral do sistema é:
Onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.