Mostre que L{t x''} = -2 s X(s) - s^2 X'(s) + x(0) onde L{x} = X(s).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente mostrar que a transformada de Laplace de é igual a , onde . Isso pertence ao estudo das transformadas de Laplace, especificamente lidando com derivadas e multiplicação por . Para resolver, vamos precisar usar propriedades das transformadas de Laplace relacionadas a derivadas e ao fator .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a transformada de Laplace da segunda derivada de é:
Aqui, usamos a propriedade da transformada de derivadas, que envolve os valores iniciais e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a transformada de . Existe uma propriedade que diz que multiplicar a função por no domínio do tempo corresponde a tirar a derivada negativa da transformada de Laplace em relação a :
Onde .

Passo 4

Aplicando essa propriedade para , temos:
Substituindo a expressão da Passo 2:

Passo 5

Vamos derivar termo a termo em relação a :
Então, a derivada completa fica:

Passo 6

Agora, aplicando o sinal negativo que estava na frente da derivada:
Distribuindo o negativo:

Resposta

Exercícios relacionados

Resolva por transformadas de Laplace o seguinte PVI:
y^prime+y=integral0^t(t-tau) cos tau d tau
onde y(0)=0.
Resolva por transformadas de Laplace o seguinte PVI:
y'' + 2y' + 5y = 4cos(t)delta(t - 2pi)
onde y(0) = 1 e y'(0) = 0.
Calcule a inversa da transformada de Laplace de F(s). (Experimente usar duas vezes a propriedade da transformada da integral):
F(s) = 1 / (s^2 * (s + 1)^2)
Mostre que a equação abaixo é homogênea e resolva-a.
d y/d x = (2 y - x)/(2 x - y)