Mostre que
onde
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente mostrar que a transformada de Laplace de
é igual a
, onde
. Isso pertence ao estudo das transformadas de Laplace, especificamente lidando com derivadas e multiplicação por
. Para resolver, vamos precisar usar propriedades das transformadas de Laplace relacionadas a derivadas e ao fator
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a transformada de Laplace da segunda derivada de
é:
Aqui, usamos a propriedade da transformada de derivadas, que envolve os valores iniciais
e
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a transformada de
. Existe uma propriedade que diz que multiplicar a função por
no domínio do tempo corresponde a tirar a derivada negativa da transformada de Laplace em relação a
:
Onde
.
Passo 4
Aplicando essa propriedade para
, temos:
Substituindo a expressão da Passo 2:
Passo 5
Vamos derivar termo a termo em relação a
:
Então, a derivada completa fica:
Passo 6
Agora, aplicando o sinal negativo que estava na frente da derivada:
Distribuindo o negativo:
Resposta
Exercícios relacionados
Resolva por transformadas de Laplace o seguinte PVI:
onde
.
Resolva por transformadas de Laplace o seguinte PVI:
onde
e
.
Calcule a inversa da transformada de Laplace de
. (Experimente usar duas vezes a propriedade da transformada da integral):
Mostre que a equação abaixo é homogênea e resolva-a.