Determine o lugar geométrico descrito por um ponto que se desloca de modo que o módulo da diferença de suas distâncias aos pontos P1(-6,-4) e P2(2,-4) é igual a 6.
(x+2)^29-(y+4)^27=1

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois pontos no plano, e . Queremos descobrir o conjunto de todos os pontos que se movem de tal forma que a diferença das distâncias de para e é sempre igual a 6 unidades. O conteúdo principal aqui envolve geometria analítica, especificamente o lugar geométrico de uma hipérbole. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula da distância entre dois pontos e manipular equações para chegar na forma padrão da hipérbole.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a condição dada pela questão de forma matemática. A diferença das distâncias de | raiz(x + 6)^2 + (y + 4)^2 - raiz(x - 2)^2 + (y + 4)^2 | = 6 para raiz(x + 6)^2 + (y + 4)^2 - raiz(x - 2)^2 + (y + 4)^2 = 6 e é 6:
Como estamos trabalhando com a diferença absoluta, podemos considerar duas possibilidades: uma distância menos a outra igual a 6, ou vice-versa. Contudo, para simplificar, assumimos que uma das distâncias é maior que a outra, então removemos o valor absoluto:

Passo 3

Vamos simplificar essa equação para chegar a uma forma mais manejável. Primeiro, isolamos uma das raízes:
raiz(x + 6)^2 + (y + 4)^2 = raiz(x - 2)^2 + (y + 4)^2 + 6
Agora, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes quadradas:
(x + 6)^2 + (y + 4)^2 = ( raiz(x - 2)^2 + (y + 4)^2 + 6 )^2

Passo 4

Explicando a teoria: elevar ao quadrado ambos os lados de uma equação que envolve uma raiz quadrada é uma técnica comum para simplificar expressões. Agora, vamos expandir o lado direito:
(x + 6)^2 + (y + 4)^2 = (x - 2)^2 + (y + 4)^2 + 12 raiz(x - 2)^2 + (y + 4)^2 + 36
Observamos que (x + 6)^2 = (x - 2)^2 + 12 raiz(x - 2)^2 + (y + 4)^2 + 36 aparece em ambos os lados e pode ser cancelado:

Passo 5

Vamos expandir x^2 + 12x + 36 = x^2 - 4x + 4 + 12 raiz(x - 2)^2 + (y + 4)^2 + 36 e x^2 + 12x + 36 = x^2 - 4x + 4 + 36 + 12 raiz(x - 2)^2 + (y + 4)^2 :
12x = -4x + 40 + 12 raiz(x - 2)^2 + (y + 4)^2
Simplificando os termos semelhantes:

Passo 6

Isolando os termos com 12x + 4x - 40 = 12 raiz(x - 2)^2 + (y + 4)^2 :
16x - 40 = 12 raiz(x - 2)^2 + (y + 4)^2
4x - 10 = 3 raiz(x - 2)^2 + (y + 4)^2
Dividindo ambos os lados por 4 para simplificar:

Passo 7

Agora, vamos elevar ambos os lados ao quadrado novamente para eliminar a raiz:
(4x - 10)^2 = 9 ( (x - 2)^2 + (y + 4)^2 )
Expandindo o lado esquerdo:
16x^2 - 80x + 100 = 9x^2 - 36x + 36 + 9(y + 4)^2

Passo 8

Vamos reunir todos os termos no lado esquerdo da equação:
16x^2 - 80x + 100 - 9x^2 + 36x - 36 - 9(y + 4)^2 = 0
Simplificando:
7x^2 - 44x + 64 - 9(y + 4)^2 = 0

Passo 9

Reorganizando a equação para a forma padrão da hipérbole:
7x^2 - 44x - 9(y + 4)^2 = -64
Vamos completar o quadrado para a parte de 7(x^2 - 447x) - 9(y + 4)^2 = -64 :
7 ( x^2 - 447x + 48449 ) - 9(y + 4)^2 = -64 + 7 times 48449
O termo para completar o quadrado é 7 ( x - 227 )^2 - 9(y + 4)^2 = -64 + 68 = 4 :
Simplificando:

Passo 10

Dividindo toda a equaç��o por 4 para obter a forma padrão:
74 ( x - 227 )^2 - 94(y + 4)^2 = 1
Simplificando os coeficientes:
(x + 2)^29 - (y + 4)^27 = 1

Resposta

O lugar geométrico é a hipérbole definida por
(x + 2)^29 - (y + 4)^27 = 1

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