Determine o lugar geométrico descrito por um ponto que se desloca de modo que o módulo da diferença de suas distâncias aos pontos
e
é igual a 6.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois pontos no plano,
e
. Queremos descobrir o conjunto de todos os pontos
que se movem de tal forma que a diferença das distâncias de
para
e
é sempre igual a 6 unidades. O conteúdo principal aqui envolve geometria analítica, especificamente o lugar geométrico de uma hipérbole. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula da distância entre dois pontos e manipular equações para chegar na forma padrão da hipérbole.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a condição dada pela questão de forma matemática. A diferença das distâncias de
para
e
é 6:
Como estamos trabalhando com a diferença absoluta, podemos considerar duas possibilidades: uma distância menos a outra igual a 6, ou vice-versa. Contudo, para simplificar, assumimos que uma das distâncias é maior que a outra, então removemos o valor absoluto:
Passo 3
Vamos simplificar essa equação para chegar a uma forma mais manejável. Primeiro, isolamos uma das raízes:
Agora, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes quadradas:
Passo 4
Explicando a teoria: elevar ao quadrado ambos os lados de uma equação que envolve uma raiz quadrada é uma técnica comum para simplificar expressões. Agora, vamos expandir o lado direito:
Observamos que
aparece em ambos os lados e pode ser cancelado:
Passo 5
Vamos expandir
e
:
Simplificando os termos semelhantes:
Passo 6
Isolando os termos com
:
Dividindo ambos os lados por 4 para simplificar:
Passo 7
Agora, vamos elevar ambos os lados ao quadrado novamente para eliminar a raiz:
Expandindo o lado esquerdo:
Passo 8
Vamos reunir todos os termos no lado esquerdo da equação:
Simplificando:
Passo 9
Reorganizando a equação para a forma padrão da hipérbole:
Vamos completar o quadrado para a parte de
:
O termo para completar o quadrado é
:
Simplificando:
Passo 10
Dividindo toda a equaç��o por 4 para obter a forma padrão:
Simplificando os coeficientes:
Resposta
O lugar geométrico é a hipérbole definida por